лебаний в ней, а также по нормам матрицы А или на основе методов локализации. Слишком большие первоначальные значения радиуса приводят к аннулированию элементов матрицы ввиду выхода числа за пределы разрядной сетки машины. Например, если элементы матрицы А достаточно малы, то деление на большое значение R еще более уменьшает их, что и приводит в отдельных случаях к выходу числа за пределы разрядной сетки. Тот предел, при котором происходит аннулирование отдельных элементов матрицы А, определяет верхнюю границу величины радиуса R.

Большие значения радиусов удлиняют время решения задачи, так как увеличивают число шагов при исследовании каждой точки пространства параметров в Хо R раз. Так, увеличение радиуса в О раз требует дополнительно 10 шагов, что соответствует Юп операциям умножения.

Центр круга, охватывающий область расположения всех собственных чисел матрицы А, отнесен влево на величину -R - Г), поэтому касательные, проведенные из начала координат к окружности, приближенно характеризуют колебательность в системе (рис. 6.1).

Показатель колебательности выражается тангенсом угла наклона касательной

= tg ф = = R/V{R + пГ -R = R/VR + Ц.

Выполнив несложные преобразования, показатель колебательности можно представить как

1/2/?/т)-Ь.1

где у = R/f].

Из формулы следует, что показатель колебательности зависит от отношения двух величин: радиуса круга R, охватывающего все собственные числа матрицы А, и степени устойчивости Т].

В большей части практических расчетов на ЦВМ пределы изменения показателя колебательности р, составляют от 1 до 5*7.

: Кругами подходящего радиуса можно ограничить интересующую проектировщика область расположения всех собственных чисел Sj и исходной матрицы коэффициентов А в левой полуплоскости. Однако при возведении матрицы в степень возможен колебательный характер сходимости. Этот эффект

имеет место тогда, когда какое-либо из собственных чисел Si матрицы А достаточно близко расположено от границы круга.

Для устранения этого накелательного явления можно использовать функционально-преобразованные матрицы, соответствующие нелинейному отображению охватывающего спектр круга.

Рассмотрим матричный степенной ряд

А . А2 . A3

4-...

eA/ = D, = E-4-

3! /?з

+ -, m=0,l,2,.... (6.25)

Если для отображения круговой области расположения всех собственных чисел матрицы А использовать три или четыре члена ряда (6.25), то явление колебательности подавляется.

При использовании первых трех членов ряда (6.25) .функционально преобразованная матрица имеет вид

л =0, 1,2.

(6.26)

В этом случае оценивается принадлежность спектра матрицы кругу радиуса г = 0,5 с центром в точке 10,5; 01 комплексной плоскости р (рис. 6.2, а).

Для того Чтобы спектр матрицы А системы (6.7) находился внутри круга радиуса iR с центром в точке [-R, 01 комплексной плоскости S, необходимо и достаточно, чтобы спектр матрицы Da располагался внутри круга радиуса г = 0,5, вложенного в единичный круг с центром в начале координат. Круг симметричен относительно оси абсцисс и имеет общую точку [1, 0] с единичным кругом.

При использовании четырех членов ряда (6.25) окружность радиуса R комплексной плоскости s переходит в алгебраическую кривую третьего порядка, вложенную в единичный круг комплексной плоскости р. Эта кривая пересекает оси ОХ в точках [1/3, 0] и [1, 0] (рис. 6.2, б). Функционально-преобразованная матрица имеет вид

Оз = Е + -А + + . =.-0,1,2,3. (6.27)

При. использовании пяти членов ряда (6.25) осуществляется отображение круговой области отображения спектра на внутренность области, ограниченной алгебраической кривой четвертого порядка - конхоидой с круговым базисом (улиткой Паскаля). Эта кривая (рис. 6.2, в) имеет общую точку с единичным кругом [I, 01 и целиком находится в правой его половине. Функционально-преобразованная матрица имеет вид

А А A3 А4

D4-E-f-i+- + --Ь-, т = 0, 1,2,3,4. (6.28)

Функционально-преобразованным матрицам Dg, D3, D4 может быть поставлен в соответствие скалярный ряд

р=.е =H--f-- + -i-- + ... + -. (6.28а)

При /п = 1, т. е. при рассмотрении первых двух членов, имеет место линейное преобразование. При т = 2, 3, ... имеет место нелинейное преобразование. Известно, что всякая квадратная матрица является элементом кольца. Это позволяет заменить скалярную величину s матрицей А. При такой замене надо соблюдать Два условия: 1) следить за порядком еле-дования сомножителей, так как в общем случае кольцо матриц некоммутативно; 2) следить за операцией деления, так как не всякая матрица имеет свою обратную. В данном случае каждая матрица коммутирует caivia с собой и со своей целой произвольной положительной степенью и эти условия автоматически соблюдаются.

Можно показать, что функционально-преобразованные матрицы Dm, полученные при круговом охвате и отображении спектральной области матрицы А, приближают матричную экс-