Найдем изображение по Лапласу от дельтанфункции и ее про изводных. При этом преобразование Лапласа будем трактовать как предельное соотношение

X(s) = lim f x(Oe- d/. ---

е-*0 J . : .

- -Е

Используя соогношения (2.32)-(2.35), нетрудно получить

L {б (t)} = 1, L {б (0) = S, L { б (0) s . (2.36)

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами в общем виде:

(Ов р + %/? --]-... + an) yiKp +biP - +

+ ... + b)u. (2.37)

В изображениях по Лапласу это уравнение принимает вид

F (S) = W (S) и (S), (2.38)

где W (s) = (boS + biS -1 + ... + b упУКаФ + as ...Ч- a ) есть передаточная функция.

Как легко проверить, используя (2.36), уравнение (2.38) справедливо и в тех случаях, когда =!(/) или = б (/).

В соответствии с определением весовой функции при и = = б it) переменная у {t) = w (t). И так как L{6 (/)} =1, то при этом (2.38) можно записать

L {W it)}. = W is). (2.39)

Таким образом, передаточная функция равна изображению по Лапласу от весовой функции и соответственно

W it) = {W is)}. (2.40)

Последнюю формулу можно использовать для вычисления весовой функции.

Установим связь между весовой и переходной функциями.. Так как L{ 1 it)} = 1/s, то уравнение (2.38) при м = 1 (/) принимает вид

L{hit)} = Wis)-.

сравнив эту формулу с (2.39), нетрудно заметить, что sL{/i(/)}= = L {w it)}. Так как при нулевых начальных условиях умно-

жению изображения на s соответствует дифференцирование оригинала, то из последнего равенства w (f) = h {t). Весовая и переходная функции, как и передаточная функция, являются исчерпывающими характеристиками системы (звена) при нулевых начальных условиях. По ним можно однозначно определить выходную величину при произвольном входном воздействии. Действительно, исходя из уравнения (2.38), с помощью теоремы о свертке (свойство 5 преобразования Лапласа) можем записать

x{{)=[w{t~

Jm) it-x) и (г) dx = J tiy (т) и (t -х) dx.

Эта формула, как и уравнение (2.38), справедлива только при нулевых начальных условиях.

§ 2.6. Элементарные звенья и их характеристики

Выше звено было определено как математическая модель элемента. Вообще же звеном называют математическую модель элемента, соединения элементов или любой части системы. Звенья, как и системы, могут описываться дифференциальными уравнениями довольно высокого порядка, и в общем случае их передаточные функции могут быть записаны в виде

W (S) - (Ьо + bi s - -Ь ... + Ь J/(ao +as - +

+ ... + а,). (2.41)

Но всегда их можно представить как соединения типовых или элементарных звеньев, порядок дифференциальных уравнений которых не выше второго.

Из курса алгебры известно, что полином произвольного порядка можно разложить на простые множители - множители вида

М. (rfis+da), (ds + ds + d,), (2.42)

поэтому передаточную функцию (2.41) можно представить как произведение простых множителей вида (2.42) и простых дробей вида

k/s. k/{dis + da), k/ids + ds + ds). (2.43)

Звенья, передаточные функции которых имеют вид простых множителей (2.42) или простых дробей (2.43), называют типовыми или элементарными звеньями.

Прежде чем переходить к изучению элементарных звеньев, вспомним формулы для модуля и аргумента комплексного числа. Пусть комплексное число представлено в виде отношения двух произведений комплексных чисел

=1 / ft=--i

Так как Zi = 2je i, = \z\e то для модуля и аргумента комплексного числа имеем

П Ь-е

П ?и fc= 1

Таким образом, справедливо следующее правило модулей и аргументов комплексных чисел: модуль комплексного числа, представленного в виде отношения двух произведений комплексных чисел, равен отношению произведения модулей сомножителей числителя к произведению модулей сомножителей знаменателя, а его аргумент - разности суммы аргументов сомножителей числителя и суммы аргументов сомножителей знаменателя.

Пропорциональное звено. Пропорциональным называют звено, которое описывается уравнением у (f) = ku (t), или, что то же, передаточной функцией W (s) = k.

Частотные и временнйе функции этого типового звена имеют следующий вид:

W ija) = k; У(о)) =fe; V (со) = 0; А (со) = k;

- ф (со) = 0; L (со) = 201g k; h {t) =fel(0; к (0 = 6 (t).

Ha рис. 2.4 представлены некоторые из характеристик пропорционального звена: амплитудно-фазовая частотная характеристика (рис. 2.4, а) есть точка на действительной оси; фазовая частотная характеристика (и ЛФЧХ) совпадает с положительной полуосью частот; логарифмическая амплитудная частотная характеристика (рис. 2.4, б) параллельна оси частот и