X 1,5

-OS -1 -1,5 -2

Рис. 6.6

Для момента времени t = 0,1 с имеем

= X (0,1) = [Хо+ (Е-0,5A/i) ЛР (х )] =

0,925 0,27 -0,45 0,745

. 0,5

+ 0,1

1 -0,15 .0,25 1,1

1,5 3.25

1,2551371 0,1711

Для момента времени / = 2А = 0,2 с вектор нелинейной части F (X, kh) равен

Р(х Л) =

1,255137.0,1711+1,2551372

Решение в момент t = 0,2 с имеет вид

= X (0,2) = Ds [Xi + (Е -0,5АЛ) h? (х kh\\ =

0,925 0,27 .-0,45 0,745

1,255137 0,1711

+0,1

далее Хз =

Х4 =

0,25 1,414787 -0,316849.

0,858615 -1.793817]

-0,15 1.1

1,790122 .1,890728.

1,359254 - 1,01481 J

Дальнейший ход вычислений представлен на графике (рис. 6.6).

§ 6.7. Стандартные численные методы интегрирования

Многие важные задачи анализа и синтеза автоматических систем решаются нахождением кривых переходных процессов (выявление интервала устойчивого функционирования асимптотически неустойчивой системы, оптимальный синтез). Построить переходный процесс-это значит проинтегрировать дифференциальное уравнение и получить решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям и возмущающим воздействиям. Интегрирование может быть осуществлено различивши методами и выполняться с помощью аналоговых или цифровых ЭВМ. Применение аналоговых ЭВМ позволяет интегрировать систему в реальном времени, хотя точность может быть недостаточной. При использовании цифровых ЭВМ интегрирование осуществляется стандартными численными методами. К таким методам относятся методы Эйлера, Рунге-Кутта, Адамса, Хемминга, Гира.

Рассмотрим скалярное дифференциальное уравнение

д: = /(л:, 0; л;(о) = л;о.

Получить точное решение уравнения аналитическими методами удается весьма редко, поэтому ставится задача приблизить точное решение с помощью вычислительных (численных) методов.

Используются два обширных класса вычислительных методов. К первому относятся одношаговые (одноступенчатые) методы. В этих методах для нахождения следующей точки х+у кривой требуется информация только в одной предыдущей точке (Xft, tk):

К этому классу относится решение с помощью разложения в ряд Тейлора, метод Эйлера, Эйлера-Коши, Рунге-Кутта.

Простейшим является метод Эйлера, основанный на вычислении точки Xj+i посредством прямолинейной экстраполяции из предыдущей точки х. Если х (t) - гладкое решение уравнения (6.29), то оно имеет разложение в ряд Тейлора. Метод Эйлера можно рассматривать как приближенное использова-

ние двух членов ряда Тейлора. Наклон решений х (f) в начальной точке определяется по формуле

Xo=f(Xo, to).

Приближение XiKX (ti) находится с помощью двух первых членов ряда:

X (ti) га xi = Xo + hf {Хо. to).

Полагая == + К находим х (У на х Xi + hf {xi, t) и т. д. Этот процесс можно продолжить по формуле

Xk+iXf, + hf(Xk, t), fe = 0, 1, 2, ....

Погрешность метода имеет порядок О (h% так как члены ряда Тейлора, содержащие h во второй и более высоких степенях, отбрасываются.

Точность метода можно увеличить на порядок, если использовать среднее значение производной в начале и конце интервала шага. Геометрически это означает, что наклон касательной на середине шага меняется. Такой усовершенствованный метод Эйлера Xf+l = jfft -f Л/ (лгь, t, h) согласуется с разложением в ряд Тейлора вплоть до членов степени А*. Порядок ошибки составляет О (А*).

Расчетная формула имеет вид

Xk+iXk + 0,5(Ki + K2).

Кг = hf {Х, tk)\ Кг = hf (Хи -Ь Кь t+h), ft = 0. 1.....ft -1.

Таким образом, простой и усовершенствованный методы Эйлера можно рассматривать как приближение, использующее два и три члена ряда Тейлора соответственно.

Если использовать большее число членов ряда Тейлора

x(t + h)=x{t) + hk{f) + - x(t) + ...,

то можно получить методы более высокого порядка точности.

Использование первых пяти членов ряда Тейлора дает классический метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности

Хи+г==хЛ--!{Кг+2КЛ-2КЛ-Кд. 6

где Кг - / (Xft. fft); Кг = f{t + hl2, % -f Кг1; Ks=fitH + h/2,x + Kj2): K,fitn+h, x + Ks).