Подставив это выражение в формулу (2.28), получим .

г/1Л(о))еЛ <+ч( )]. (2;29)

Теперь найдем частное решение исходного уравнения, подставив вместо и выражение для щ из (2.25). Так как

р 2 = Y Р = < = /®> 2. /?2 2 = р (/? г) == (-/ >) а, -./ 2 = (-/ >) г. то (2.17) в этом случае

(floP +Oi/J -4-...+fl )y2 = [o(-/©) + + 6i(-/o)) -4-... + bJ 2. Частное решение этого уравнения будем искать в виде

Проделав те же выкладки,-что и при нахождении частного решения у, получим

Ла = 1Г (-/о) = А (о) e-ZfC) .у А{(а) e-ilt+fm. (2.30)

Сложив (2.29) и (2.30) для у и у, найдем математическое описание вынужденного движения:

У У1 + У2= А ((a) cos [wf + ф(а))1. (2.31)

Таким образом, при гармоническом воздействии в успюйчи-еых системах после окончания переходного процесса, выходная величина также изжняется по гармоническому закону, но с другими амплитудой и фазой. При этом отношение амплитуд выходной и входной величин равно модулю, а сдвиг фазы - аргументу частотной передаточной функции. И, следовательно, амплитудная частотная характеристика показывает изменение отношения амплитуд, а фазовая частотная характеристика-сдвиг фазы выходной величины относительно входной в зависимости от частоты входного гармонического воздействия.

Из приведенной физической интерпретации частотных характеристик ясно, как строить их экспериментальным путем. Для экспериментального построения частотных характерис-

тик имеется специальная аппаратура, в состав которой входят генератор гермонических колебаний с регулируемой частотой и устройства для измерения амплитуды и фазы колебаний.

Частотные характеристики~ используют для описания как устойчивых, так и неустойчивых систем. Но в последнем случае они не имеют такого ясного физического смысла.

§ 2.5. Временные характеристики

Другой важной характеристикой автоматических систем (звеньев) являются переходные и импульсные переходные функции и их графики - временные характеристики. Их используют при описании линейных систем, как стационарных, так и нестационарных.

Переходной функцией системы (звена) называют функцию, описывакхцую изменение выходной величины системы (звена), когда на ее вход подается единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях. Переходную функцию обычно обозначают h {t). Иначе: переходная функция h {t) есть функция, описывающая реакцию системы (звена) на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях.

Аналитически единичное ступенчатое воздействие можно отисать единичной функцией

о при /<0.

График переходной функции - кривая зависимости функции h {t) от времени t - называют переходной или разгонной характеристикой.

Импульсной переходной или весовой функцией (функцией веса) системы (звена) называют функцию, описьшающую реакцию системы (звена) на единичное импульсное воздействие при нулевых начальных условиях; обозначают эту функцию w {t). График импульсной переходной функции назьшают импульсной переходной характеристикой.

Переходную и импульсную переходную характеристики называют временными характеристиками.

При определении весовое функции было использовано понятие единичного импульса. Физически единичный импульс

1- при *>\

можно представить как очень узкий импульс, ограничивающий единичную площадь. Математически он описьшается функцией Ь (f), которую называют дельта-функцией; дельта-функция является обобщенной функцией. Теория обобщенных функций - сравнительно новый раздел функционального анализа, и здесь она не будет рассматриваться. Отметим только, что в рамках теории обобщенных функций любые встречающиеся в приложении функции обладают производными любого порядка. В частности, существует производная от единичной функции - она равна дельта-функции: 1 == б (t). Обладает производными любого порядка и дельта-функция.

Перейдем к определению дельта-функции и ее производных . При этом воспользуемся тем обстоятельством, что при решении практических задач, как правило, дельта-функция и ее производные встречаются только на промежуточных этапах. В окончательном результате они или отсутствуют, или фигурируют под знаком интеграла в произведении с какой-либо обычной функцией. Поэтому нет прямой необходимости отвечать на вопрос, что такое дельта-функция, а достаточно ответить на вопрос, что означает интеграл от произведения дельта-функции или какой-либо ее производной и обычной функции. Руководствуясь приведенными соображениями, дельта-функцию можно определить так: дельта-функция есть функция, которая обладает следующими свойствами:

J 6(0d= б(0=1; (2.32)

- оо -е

6(0ф(0= fь{t)ц,(t)dt~ц>{0). (2.33)

- оо -8

Производные от дельта-функции можно определить по следующим соотношениям:

J б (О ф (О dt i б (О Ф (t) dt = -ф (0); (2.34)

- оо -8

j б(Оф(Оdt= 1 6(Оф(О= (-\Г%\% (2.35)

- оо -8

где Б -- произвольное положительное число; ф (О - обычная

функция, обладакхцая т-й производной; о (f) - /п-я производная по времени от дельта-функции.