шагом в р раз больше, т. е. равным ph. Рекуррентная формула для такого способа вычисления имеет вид

x,+p,s+,) = D{x,+p, + p/iF[(Z-f-ps)/i]}; s = 0, 1,2, .... (6.36)

При р = 1 вычисления ведутся с шагом h и формула (6.36) переходит в формулу (6.34). Матрица Dm, согласованная по точности с приведенным способом вычисления, имеет вид

D.2 = Е + АЛ Ч--.

Более высокая точность приближения матричной экспоненты ехр (АО начиная с m = 4 входит в противоречие со способом аппроксимации интеграла в уравнении (6.31), отражающего влияние внешнего воздействия F (О- В этих условиях требуется повышение точности вычисления интеграла. Аппроксимируем интеграл

ехр [А (М -т)1 F (т) dx, (6.37)

используя правило трапеций. Алгоритм построения переходных процессов в окончательном виде будет

х,+1 = ехр (АЛ) fXfi + (/г/2) F (kh)] + F \{k Л-\) h]. (6.38)

Вместо ехр (A/i) можно подставить функционально-преобразованную матрицу (ФП-матрицу) или Dg. Порядок погрешности при таком способе построения процессов составляет О ф?). Дальнейшее повышение точности построения переходных процессов с помощью ФП-матриц D может быть достигнуто с помощью параболической аппроксимации интеграла (6.37), Построим алгорим для такого способа вычисления вектора переходных процессов. Имеем

= ехр (Akh) Хо + J ехр [А (М -т)1 F (т) dr. (6.39) о

Положим, как и прежде, tf, = kIR = kh. Заменяя в выражении (6.39) k на 2k, получим

X2ft = ехр (2Ш) Хо -f 1 ехр [А (2М- т)1 F (т) dx.

Далее имеем

(2А+-2) ft

X2ft+2 = ехр [AA {2k + 2)1 Xo + J exp {A [{2k + 2) x Xh-%])F{\)d%,

(2ft+2)ft

Xah + j exp [A {2kh -x)\ F (т) dx

X2fi+2 == exp (2Aft)

. (6.40)

Применим к интегралу в правой части выражения С6-40) формулу Симпсона. Тогда

(2fe+2)ft

j ехр[А(2М-T)lF(T)dT=(A/3){exp(-2АЙ) х

X F {{2k + 2) Л1 + F {2kh) 4 4 exp (- А/г) F [{2k + 1) h\).

Выполнив необходимые преобразования, получим рекуррентную формулу

Х2й+2 = ехр (2А/1) [Х2й + (/1/3) F (2М)] + (4/3) h ехр (А/г) х

XFr(2ft+l)/i] + (/i/3)F[(2ft4-2)/i], fe=0, 1, 2, 3, ....

С учетом функционально-преобразованной матрицы окончательное выражение алгоритма для построения переходных процессов имеет вид

. X2fe+2 = [x,ft + (/г/3) F (2М)] -f (4/3) № \{2k 1) /?,] +

+ (/i/3)F[(2fe + 2)/il, ft = 0, 1, 2.....

Порядок точности при параболической аппроксимации интеграла пропорционален О (/г*), что соответствует по точности интегрированию с использованием функционально-преобразованной матрицы

Способ вычисления интеграла вносит систематические ошибки в значение вектора Xft. Более подробные способы исследования точности приводятся в работе 16]. Изложенные алгоритмы распространяются на построение переходных процессов в линейных нестационарных системах.

Можно выбрать максимальный шаг построения процессов по ошибке вычисления вектора на k-м шаге. Обозначим эту ошибку через б. Тогда величина шага будет равна

I Smax I У к

где m - число, определяющее структуру функционально-преобразованной матрицы

D = Е + АЛ-f AHV2! +... + А Л /т!

При т = 1 величина шага Л = - 1

8шах1 V Ь

при/?г==4 А = -5-1/ -,

где ismaxi - наибольшее по модулю собственное число матрицы А.

Максимальное время, в течение которого ошибка не будет превосходить заданной величины, равно

Umax r+*ft

Пример 8.4. Проиллюстрируем на простом примере изложенные способы построения переходных процессов. Все расчеты легко выполняются на ручных калькуляторах.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений ,

i = Ax + F(/).

где

A=f ° 1.

L-3 -3

. Вектор-функция внешних воздействий F (/) имеет разрывной характер, причем в точках разрыва она меняет знак. Ее аналитическое выражение имеет вид

1/2 -<2 при О < < < 1; -1/2/-при 1</<2; <-4 при 2< / < 3; 1 при 3</<oo.

Вектор начальных условий