сно-сопряженных: и Sg. В уравнении (4.36) ввиду малости Де заменим их тангенсами, тогда получим

(й/а - о)/(8г - а) - ю/(Яз -- а) = О, а > 0.

Сокращая ю, определим величину а.

8. Ветви корневого годографа, совпадающие с отрезками действительной оси, располагаются в тех ее частях, справа от которых находится нечетное число действительных нулей и полюсов разомкнутой системы. Это свойство является следствием уравнения (4.36).

9. При (п - т) > 2 часть ветвей корневого годографа отклоняется влево от мнимой оси, а другие - вправо. В [9] показано, что при оценке переходных процессов можно учитывать лишь те ветви годографа, которые отклоняются вправо. Те из них, ко1-орые располагаются ближе к мнимой оси, называются доминирующими. Иначе говоря, система п-го порядка в динамике будет вести себя как эквивалентная система более низкого порядка, нули и полюсы которой совпадают с группой нулей и полюсов, наиболее близких к мнимой оси и началу координат плоскости s.

10. Углы выхода из комплексного полюса и углы входа в комплексный нуль определяют из уравнения фаз (4.36), записанного для этого полюса или нуля, т. е.

е. = Hb(2v + 1) 180° - 26- (4.41)

Рассмотрим пример построения корневого годографа с использованием перечисленных выше свойств.

Пример 4.2. Пусть известна передаточная функция разомкнутой системы

W (S) lk{s-{- 3)]/[s (s -f 4) (s2 2s -f 2)]. Характеристическое уравнение замкнутой системы

D (s) = s* H- бу -)- 10s2 -I- (8 + Й) s -Ь 3* = 0.

Передаточная функция разомкнутой системы имеет нули: Si = --3 и полюсы; Sj =0, Sg = -4, Sg = - 1 ± /1-

Расположение нулей и полюсов на плоскости s показано на рис. 4.13. Число ветвей корневого годографа равно 4 (свойство 2). Согласно этому свойству, при fe = О ветви начинаются в полюсах Sy, *а> *з Ч и - оо (свойство 4) одна ветвь стремится из полюса

Sj =: О в нуль71 = -3, а из полюса Sg = -4 стремится в бесконечность по действительной оси (рис. 4.14).

Рис. 4.13

Рис. 4.14

Определим число асимптот: п - т- 4 - 1=3 (свойство 5). Определим координату пересечения асимптоты с действительной осью.

0. =(S-2 i] 1 {п-т) = = [0-4-1-1-(-3)1/(4-1)---I

и углы асимптот:

©а = (2j4- I) 1807( - т).

где t= О, 1. 2; . e i 18073 = 60!; е 2= (2 -f I) 18073 = 180°; ©аз (4-f I) 18073 = 300°= -60° (рис. 4.15).

Определим точки пересечения с мнимой осью (свойство 6). По критерию Гурвица, для уравнения

D {S) = Cos* -f ai 4- as -j- CiS + = 6s + 1 Os + (8 -j-+ A) s + 3A= 0, уравнение границы устойчивости

Дз = CiOaag - Осо - afai - 0. Отсюда гр = 6, а граничная частота

о = ±Уоз/о1 = Vl4/6 = ±1,53 (рис. 4.16).

Определим углы выхода годографа из полюсов s- и S4 (свойство 10):

в-(61 + 62 + 63+64) = 180°.

Углы Oi, Oj 62, Og, 64 указаны на рис. 4.13: Bi = 26,5°; = 135°; 8, = = 18,2°; = 90°; = -(180° + + + 62 + 64) - Oi = - 36,7°. Рис. 4.15

Чтобы определить при k - fej,p = 6 полюсы на вещественной отрицательной полуоси (чисто мнимые уже определены: 53,4 = = ±;<0о = ±1.53/), воспользуемся свойством корней (свойство Виета).

1. П s, = ( -1) а /ао; SiS2S3S4 = 3ftrp/l-

Так как 5354=0), то Sj s2 = 3ferp/tog.

2- 2 Si=-ailae; s, 4-82 + 83 + 84---6. 1=1

Так как 83 + 84= О, то Sj + Sj - -6. Решаем систему уравнений:

8iS2=3.6/l,.i32;

*i+S2= -6

81=-1,8; 82=-4,2.

Если необходимо повысить точность расчетов, то нужно использовать уравнение (4.36).

Рассмотрим еще один метод построения корневых годографов, предложенный Э. Г. Удерманом [6, 91. В предлагаемом методе для построения корневого годографа используется кривая D-разбиения в плоскости варьируемого параметра с помощью годографа затухания.

Выделим в характеристическом уравнении замкнутой системы D (s) варьируемый параметр А. Тогда характеристическое уравнение S (s) + + AR (s) = 0.

Уравнение кривой D-разбиения в плоскости параметра А

А =~S {joi)/R (/со).

(4.42)

Уравнение (4.42) позволяет в комплексной плоскости А выделить область устойчивости системы, т. е. ту область, где корни уравнения

тельную часть.

вещественную