Главная страница  Векторные методы процессов 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 [ 47 ] 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121


Рис. 3.11

то для устойчивой системы обязательно соблюдение неравенства

о < i< 0)2 < 0)3 < 0)4 < 0) < ... . (3.64)

В связи с указанным следствием можно привести другую формулировку критерия устойчивости Михайлова: система, автоматического управления будет устойчива тогда и только тогда, когда вещественная X (со) и мнимая Y (ю) функции Михайлова, приравненные нулю, имеют все действительные и перемежающиеся корни, причем общее число этих корней равно порядку характеристического уравнения п, и при ю = О удовлетворяются условия

X (0) > О, У (0) > 0.

На рис. 3.11, а приведен пример графиков X (ю) и У (со) для устойчивой системы, а на рис. 3.11,6 - для неустойчивой системы.

Для уравнений до шестого по{)ядка включительно условие перемежаеглости корней дает возможность легко провести аналитическое исследование устойчивости, не вычерчивая кривую Михайлова. При этом обычно определяют только корни уравнения У (со) = 0. Перемежаемость корней уравнений X (со)=0 и F (со) = О можно проверить подстановкой в X (со) найденных корней уравнения У (со) = 0. Как видно из рис. 3.11 ,а, знаки X (со) при подстановке возрастающих по абсолютной величине корней должны чередоваться.

Пример 3.6. Определить устойчивость системы, характеристическое уравнение которой

D (S) = se -f 6s5 -f 15s + 20 il5s+6s + 1 = 0.



Подставляем s = /со и находим вещественную и мнимую функции Михайлова:

X (й>) = -о) + 15&)4 - 15&)2 +1 = 0;

К (со) = со (6w* - 200)2 + 6) = 0.

Находим корни уравнений V (сй) = О, т. е. Wo = 0; СО4 - З.ЗЗм* + -j- 1 = О, откуда

1.4= 1.67 гЬ 1/2,78-1; w=0,36; со=2,%.

Если перемежаются корни, то перемножаются и их квадраты, поэтому нахождение cOg и со не обязательно.

Проверим, чередуются ли знаки X (со) при подстановке (в и о>. Имеем

X fcoj = -0,36 + 15-0,36 - 15-0,36 + 1 - -2,51;

X (щ) = -2,96 + 15-2,96 - 15-2,96 + 1 > 0.

Так как все корни К (ев) вещественны и знаки ординат X (со), соответствующие этим корням, чередуются, то система устойчива.

Критерий устойчивости Найквиста. Этот частотный критерий устойчивости, разработанный в 1932 г. американским ученым Г. Найквистом, позволяет судить об усгойчивости замкнутой системы по виду амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы.

Пусть передаточная функция разомкнутой системы

W(s)Л=..Ьl±h£!- + +r тп. (3.65)

Подставляя в (3.65) s = /со, получаем частотную передаточную функцию разомкнутой системы:

IF (/со) г-.- ° </й>) + h -Ь + V

Q (/ ) Со (/й>) 4- сг Uayf- Ч ... + с

= £/ ((0) -f jV (со) = А ((й) еШ), (3.66)

где (7 (со) и Y (со) - действительная и мнимая части частотной передаточной функции соотвегственно; модуль А (со) и фаза яр (со) частотной передаточной функции равны А (со) =

= (Сй) -t- V (со); яр (со) = Arctg

Если изменять частоту со от -с до оо, то вектор W (/со) будет меняться по величине и фазе. Кривую, описываемую концом этого вектора в комплексной плоскости, называют ампли-



VJUio)

и (О))

тудно-фазовой характеристикой разомкнутой системы (рис. 3.12).

Амплитудно-фазовая характеристика симметрична относительно вещественной оси, поэтому обычно вычерчивакуг только ту часть ее, которая соответствует положительным частотам о)>0 (сплошная линия на рис. 3.12), а ветвь этой характеристики, соответствующая отрицательным частотам ю < О (пунктирная линия на рис. 3.12), может быть найдена как зеркальное отражение ветви, соответствующей положительным частотам, относительно вещественной оси. Рассмотрим вспомогательную функцию

is)=l + W(s)=l+R {s)/Q is) = IQ is) + R is)]/

/Q is), = D is)/Q is), (3.67)


Рис. 3.12

+ an - Q{s) = полином

+ 6m-

где D is) = Q is) + R (s) = о + OiS + характеристический полином, замкнутой систерлы;

- CoS + CiS - + ... -f c - характеристический разомкнутой системы; R (s) = bo, s + bys - + ..

- полином степени т.

Заметим, что так как в реальных системах степень полино-рла R is) не выше степени полинома Q (s), т. е. m п, то степени числителя и знаменателя дроби (3.67) одинаковы и равны п.

Подставляя в (3.67) s = /ю, получирл

Ф (/(о) = 1 -f Г (/(о) = [Q (/o>)-f i?(/o>)]/Q(/co) = D (/<B)/Q (/со).

(3.68)

Пусть характеристическое уравнение замкнутой системы D (5) = О имеет т правых корней и п-т левых корней, а характеристическое уравнение разомкнутой системы Q (s) == О имеет I правых и п - / левых корней.

При изменении частоты со от - оо до оо изменение угла поворота вектора р (/со) на основе принципа аргумента будет

AArgq (/со) = я[(п-

:!1со = А Arg D (/СО) -Л ArgQ (/со) = т) -т] -я 1(п -/)-Л = 2л (I -т). (3.69)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 [ 47 ] 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121

© 2000 - 2018 ULTRASONEX-AMFODENT.RU.
Копирование материалов разрешено исключительно при условии цититирования.