г\ гл fr\ rYVrvт\

Рис. 1.3. Сигналы, выпрямленные одно- (а) и двухполупериодным (б) выпрямителями

20 20 20

s(f) = Co +--COS 2(0, f---COS4V)t + --сов6щ1 + ...,

3 15 35

(1.2)

где О, =-t; = 0,64L/.

Многие сигналы состоят, в общем случае, как из синусоид, так и из косинусоид, т.е.

s(f) = Oo + 5, sin со,f +О,cos (О, f + Sg sin 2cOif + + Ogcos 2cOi t + S3 sin 3cOi t + O3 cos Зсо, t + ....

Используем известное тригонометрическое соотношение

yAsin(cof+ ф)- yAcosфsincof+ yAsinфcoscof = Ssinwf+ Ocoscof,

где S = уАсозф и С = /4sinф, и заменим запись (1.2) на следующую:

s(f)= Д) + Д з!п(с01Г + ф1 ) + /А2з1п(2(о,? + ф2) + + /A3Sin(3cOif+ Фз) + ... =

(1-3)

Выражение (1.3) показывает, что любой периодический сигнал состоит из гармоник. В математике эту формулу называют рядом Фурье.

Если изобразить амплитуду А, и фазу ф, каждой гармоники на рисунке, то получим так называемые спектральные диаграммы сигнала (рис. 1.4, а, б), где линии, соответствующие амплитудам и фазам гармоник, называются спектральными линиями. Распределение амплитуд гармоник по частоте называется спектром амплитуд этого сигнала (см. рис. 1.4, а), а распределение фаз ф - спектром фаз (рис. 1.4,6).

Когда интересуют не значения амплитуд и начальных фаз гармоник сложного колебания, а только их частоты, то следует говорить о спектре частот сигнала.

>1а

20)1

Wj 2(jL)i 3(01 <и

30)1 О)

Рис. 1.4. Спектры амплитуд (а) и фаз (б)

Так как спектр периодического сигнала состоит из отдельных спектральных линий, его называют дискретным.

Частота первой гармоники сигнала определяется, как показано в (1.1), периодом сигнала: со, =2л/Г. Если период сигнала оставить неизменным, а изменять только длительность импульсов (рис. 1.5, а и в), то частота первой гармоники будет той же самой для обоих сигналов. Изменится скорость убывания амплитуд гармоник (рис. 1.5, б и г). Чем короче импульс, тем медленнее убывают амплитуды гармоник и тем соответственно, большим числом гармоник следует представлять прямоугольные импульсы, чтобы сохранить достаточную степень их прямоугольности .

Существует очень важное понятие - практическая ширина спектра сигнала. Интуитивно ясно, что если полоса пропускания какого-либо устройства недостаточно широкая, чтобы пропустить все гармоники, существенно влияющие на форму сигнала, то сигнал на выходе этого устройства исказится. Таким образом, можно сказать, что ширина полосы пропускания устройства не должна быть уже ширины спектра сигнала.

Что же следует считать шириной спектра сигнала, если число гармоник в сигнале бесконечно? Существует несколько критериев для

о 0)1

о 0)1

111 I.

I I I I I

Рис. 1.5. Изменение спектра амплитуд (б и г) при уменьшении длительности импульсов (а и е)

определения практической ширины спектра сигнала. Например, можно отбрасывать все гармоники с амплитудами меньшими 1 % максимальной амплитуды в спектре, тогда частоты оставшихся гармоник и определят ширину спектра сигнала. Можно отбрасывать те гармоники, суммарная энергия которых меньше 10 % общей энергии сигнала. В этом случае ширину спектра также определяют оставшиеся в сигнале гармоники.

Однако независимо от критерия, по которому определяют ширину спектра сигнала, можно выделить такие общие для всех сигналов закономерности: чем круче фронт сигнала, чем короче импульсы и чем больше пауза между импульсами, тем шире во всех этих случаях спектр сигнала, т.е. тем медленнее убывают амплитуды гармоник с ростом их номера.

1.2. Спектры непериодических сигналов

Непериодический сигнал легко получить из периодического, увеличивая период вплоть до ТС (рис. 1.6, а-г). Спектр амплитуд для сигналов с разными периодами показан на рис. 1.7, а-в.

Рис. 1.6. Увеличение периода последовательности прямоугольных импульсов