И подавить все боковые спектры. На выходе такого фильтра появится исходный непрерывный сигнал.

При слишком редкой дискретизации (низкая частота дискретизации

и большой интервал дискретизации tp) будет иметь место наложение на спектр исходного сигнала бокового спектра. Это приведет к искажению формы исходного спектра, и значит, к отличию восстановленного сигнала от исходного. Наоборот, более частая дискретизация позволит легко восстановить непрерывный сигнал из дискретного с помощью несложного фильтра нижних частот. Таким образом, для безыскаженного восстановления непрерывного сигнала из дискретного необходимо частоту дискретизации /д выбирать не ниже удвоенной ширины его спектра. Для телефонного сигнала, как мы это видим, ffl = 8 кГц.

В 1933 г в работе О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи В.А. Котельников доказал теорему, ставшую основополагающей в теории и технике цифровой связи. Суть этой теоремы состоит в том, что непрерывный сигнал, у которого спектр ограничен частотой F, может быть полностью и однозначно восстановлен по его дискретным отсчетам, взятым с частотой (ц = 2F, т.е. через интервалы времени = 1/2F.

Мы не приводим полную математическую формулировку теоремы, а также ее доказательство, а лишь ограничиваемся указанием сути теоремы. Однако справедливость ее только что была обсуждена и легко усматривается из рис. 2.10.

3.3. Квантование и кодирование

Квантование. Пусть в результате дискретизации непрерывного сигнала s(f) была получена последовательность узких импульсов, которая представляет собой АИМ-сигнал. Амплитуды импульсов равны в этом случае мгновенным значениям сигнала s(t) в моменты itp, где ( = 0,1,2, 3, (д - период следования импульсов, или интервал дискретизации.

Подвергнем полученный АИМ-сигнал квантованию по уровню (рис. 3.5). Для этого диапазон возможных значений амплитуд (т.е. диапазон значений первичного сигнала) делится на отрезки, называемые шагами квантования Д,. Границы этих отрезков являются разрешенными для передачи значений амплитуд импульсов. Таким образом, амплитуды передаваемых импульсов будут равны не мгновенным значениям первичного сигнала, а ближайшим разрешенным уровням. Такое преобразование первичных сигналов можно называть квантованной амплитудно-импульсной модуляцией (КАИМ). Особен-

-Д/2

Рис. 3.5. Квантование АИМ-сигнала по уровню

Рис. 3.6. Шум квантования

ностью КАИМ-сигнала является то, что все его уровни можно пронумеровать (а их число хотя и большое, но конечное) и тем самым свести передачу КАИМ-сигнала к передаче последовательностей номеров уровней, которые этот сигнал принимает в моменты / .

Если шаги квантования одинаковы и не зависят от уровня квантования, то квантование называют равномерным. Возможно неравномерное квантование, при котором шаги квантования различны.

В процессе квантования возникает ошибка вследствие того, что передаваемый квантованный сигнал отличается от истинного. Эту ошибку можно рассматривать как специфическую помеху - шум квантования. Последний представляет собой случайную последовательность импульсов (рис. 3.6), максимальное значение амплитуды которых не превышает половины шага квантования. Чем меньше шаг квантования, тем меньше шум, но больше число передаваемых разрешенных уровней.

Следующий шаг в преобразовании сигнала состоит в переводе квантованного АИМ-сигнала в цифровой. Эта операция называется кодированием КАИМ-сигнала.

Кодирование. Познакомимся с одним замечательным свойством нашей системы счисления - позиционностью.

Изобразим какое-нибудь число, например 777. В нем один и тот же знак 7 участвует 3 раза, но когда он стоит справа, то означает семь единиц, в центре - семь десятков, слева - семь сотен. Таким образом, при записи числа цифра может иметь начертание одно и то же, а цифровые значения - разные, в зависимости от места, позиции, разряда, на котором она стоит. Такой принцип построения чисел называется поместным, или позиционным. Для записи любых сколь угодно больших чисел достаточно десяти цифр!

Каждая позиция, или разряд, числа имеет определенный вес (единицы, десятки, сотни и т.д.), поэтому число 777 можно расписать как

777 = 7- 107 10 + 7,

т.е. как семь сотен плюс семь десятков плюс семь единиц. Если призвать на помощь алгебру и вместо чисел записать буквы, то можно получить такую общую форму представления числа:

М = а -10 +а ,-10 -Ч... + а,-10 + ао.

или сокращенную - через коэффициенты, если опускать степени числа 10:

Л = (а а .,...а,ао).

Число 10 является основанием системы счисления. Коэффициенты Эо (число единиц), а, (число единиц второго разряда, т.е. десятков), За (число единиц третьего разряда, т.е. сотен) и т.д. могут принимать значения, не превышающие основания системы: от О до 9. В 1665 г. французский математик Б. Паскаль показал, что за основание системы счисления можно принять любое число, а это значит, что каждое число можно представить в виде комбинации степеней не числа 10, какого-либо другого целого числа. Выберем, например, число 7:

М = а -7 + а ,.7 -Ча,-7 + ао.

Ясно, что значения коэффициентов aa,.....а должны теперь

быть не больше нового основания, т.е. 7: они могут принимать значения от О до 6.

Представим число 777 в семеричной системе, разлагая его по степеням основания 7:

(777 )io =2-7+1-7+6-7.

Если опустить степени числа 7, как мы делаем при записи чисел в десятичной системе, то получим семеричную запись этого числа: (2160)7. Здесь цифра 7 в индексе указывает основание системы. В пятеричной позиционной системе всего пять цифр: О, 1,2, 3, 4. В ней число 777 будет представляться количеством пятерок , двадцати-пяток и т.д.:

(777)io =1-б +1 5+1 5+0-5 + 2 = (111052)5.

Посмотрим, как будет представлено число 777 в двенадцатеричной системе. Поскольку в ней должно быть двенадцать цифр, а мы знаем только десять, то придется ввести еще две цифры, обозначив 10, скажем, буквой А, а 11 - буквой В. В результате получим

(777)io =5-12+4-12 + 9 = (549)i2.