Из условия 1 следует обращение в нуль коэффициентов при кооинусоидальных слагаемых уравнения (3.3), т. е. £2=-£4=0. Обойкачим произведение остальных коэффициентов этого уравнения через Ео и перепишем его в следующем виде:

Е = Е sin (y2 х) sin {уу У) е-. (5.1)

Из граничного условия 2 следует

sin(Y2a:a) = 0 и sin (Y2J/= 0. (5.2)

Тождественное выполнение этих равенств возможно лишь при условии

ухтп/а и yynnlb, . .<5.3)

где т VI п - любое целое положительное число, определяющее

тип волны Етп.

Отметим, что для Е-волн ни одно из этих чисел не может быть равно нулю, в противном случае составляющая поля £z=0, а следовательно, и все другие составляющие электромагнитного поля обратятся в нуль, т. е. волн Eon и fmo не существует.

Итак, окончательно

Е = Eg sin (m я xfa) sin (n n y/b) e-Vi . (5,4 j

Существование Н-волн предполагает Hz¥=0, Ez=0. Рассмотрев решение волнового уравнения (3.4), используя при этом граничное .условие (2.15), уравнения (3.6) и (3.7), согласно которым можно полагать

dHz/dy = 0 при у = 0, уЬ,

dHz/dx = 0 при x==0, х = а.

Найдя производные dHz/dy и dHJdx, так же, как и в предыдущем случае, получим

Н = Яд cos (т п x/a).cos {п п у lb) e-Vi2, 55)

Составляющие поля Я, Ну, Ех у1 Еу для Е- и Н-волн определяются с помощью формул перехода (3.12) - (3.15) при подстановке в них Яг=0 и (5.4) для Е-волн; Ez=0 и (5.5) для Н-волн.

Критическая длина волны. Уравнения (3.6) и (5.3) позволяют определить поперечный коэффициент распространения в пря-;моугольном волноводе следующим выражением:

y = V{mn/a) + {nn!b)\ (5.6)

Подставив значение уг в (3.18), получим соотношение для определения критической длины Н- и Е-волн в прямоугольном, волноводе через геометрические размеры волновода:

Kp = 2fVim/a) + {n[br. (5.7)

Анализируя изложенное в этом разделе, можно сделать следующие выводы и замечания.

Каждой паре чисел т и п в конкретной конструкции волновода (заданы величины а и Ь) соответствуют определенная структура

электромагнитного поля и значение Хкр. Электрические и магнитные волны данного типа обозначаются Ешп и Нтп соответственно. Числа т, п называются индексами данного типа колебаний. Физически они соответствуют числу стоячих полуволн, существующих в поперечном сечении вдоль координатных осей х я у. Поскольку индексы могут быть любыми, то в прямоугольном металлическом волноводе возможно существование сколь угодно большого числа Н- и Е-волн.

В табл. 5.1 показаны структура электромагнитного поля и приведены формулы, определяющие основные характеристики некоторых типов волн в прямоугольном волноводе.

В высших типах волн структура поля волны Ец, Ню и Нц повторяется, образуя более сложную картину поля. При это,\1 изображенные JB табл. 5.1 распределения следует повторить по той или иной координатной оси такое число раз, которое равно значению, индексов тип требуемого типа волн. Поскольку зависимости составляющих электрического и .магнитного полей от координат описываются гармоническими функциями, направление силовых линий должно чередоваться.

Магнитные силовые линии Е-волны лежат в плоскости поперечного сечения и являются замкнутыми кривыми. Электрические силовые линии этой волны лежат в плоскости продольного сечения, Представляя собой замкнутые или разомкнутые кривые с началом и концом на поверхности металлических стенок волновода.

Рассматривая структуру поля Н-волн, следует отметить, что электрические силовые линии лежат в плоскости поперечного сечения и являются либо замкнутыми кривыми, либо разомкнутыми

кривыми с началом .и концом на

- ё2£

Дтшп волны

Zo/\/5

а/)/г 1а А,

поверхности металлических стенок волновода, а магнитные силовые линии представляют собой замкнутые кривые, лежащие в плоскости продольного сечения.

На рис. 5.2 приведены графики распределения Критических длин волн для волновода квадратного (Ь - а) И 27рямоугольного (Ь = 0,5а) сечений. Из сравнения графиков видно, что с увеличением высоты волноводов b растет количество типов волн, возбуждаемых в ВОЛнавОДе. Это является одной из причин преиму-0 .шественного применения волноводов с высотой Ь0,5а. Рас-Рис. 5.2. Распред&ленда .критячеокнх сматривая график, относящийся.

ДЛИН ВОЛН в 1В0>ЯН0В0ЛЙХ г 1 гч f

а-для сечевия fc=c; б-для сече- К волноводу с Ь = 0,5а, -можно ния 6=0,5а сделать следующие выводы:

Ь=0,5а

Длина болиы возбужйтщих колеШт

2а 5 а

Таблица 5.1

Структура поля и расчетные соотношения для прямоугольных волноводов

Тип волны

Структура поля в плоскости поперечного сечения

W Структура поля в плоскости продольного сечения

.1.1

Критическая длина

волны Лкр, м