M[/(f)] = X-P/.

где д - вероятность того, что в произвольный момент времени в пучке из V соединительных устройств занято ровно / устройств, i = Q,V. Математическое ожидание интенсивности нагрузки обычно называют просто нагрузкой.

Другой важной характеристикой случайного процесса, описывающего функционирование пучка соединительных устройств при обслуживании вызовов, является дисперсия обслуженной нагрузки:

D[/(0] = 5;(/-M[/(f)])-p,. (=1

2. Скученность нагрузки.

Если поступающий поток вызовов является простейшим, то создаваемая им нагрузка, как случайная величина, имеет распределение Пуассона [1, 4, 5]. Для случайной величины, которая описывается этим распределением, характерно равенство первых двух моментов, т.е. дисперсия нагрузки совпадает с ее математическим ожиданием. Такая нагрузка называется пуассоновской нагрузкой первого рода и считается равномерной.

Если дисперсия нагрузки меньше ее математического ожидания, то нагрузку называют сглаженной, поскольку ее отклонения от среднего значения будут меньше, чем для пуассоновской нагрузки.

Нагрузка, у которой дисперсия больше математического ожидания, получила название скученной. В этом случае вызовы поступают неравномерно: для некоторых интервалов времени число поступивших вызовов мало, а на других интервалах число вызовов достигает значительной величины, т.е. вызовы группируются в коротких интервалах времени. К примеру, скученная нагрузка создается так называемым избыточным потоком вызовов, которые потеряны на пучке А и поступают для обслуживания на другой пучок В. Этот поток является прерывистым, так как на пучок 8 вызовы могут поступать только при условии, что в пучке А отсутствуют свободные соединительные устройства.

Скученность z нагрузки измеряется отношением дисперсии нагрузки D к ее математическому ожиданию У:

Величина z, которая также называется коэффициентом скученности нагрузки, равна единице для равномерной (пуассоновской) нагрузки, меньше единицы для выровненной (сглаженной) нагрузки и больше единицы для скученной (избыточной) нагрузки.

Если на пучок соединительных устройств поступают сразу несколько п потоков вызовов, то математические ожидания Yj этих нагрузок суммируются. Для статистически независимых потоков также суммируются и дисперсии D, соответствующих нагрузок. Таким образом, математическое ожидание У и дисперсия D суммарной нагрузки рассчитываются по следующим формулам:

У1 = 1Уь D = tDi-1=1 1=1

Коэффициент скученности объединенной нагрузки определяется следующим выражением:

Zv =-

(17.6)

3. Характеристики нагрузки на участке ЦСИО.

Как отмечалось выше, в ЦСИО по одним и тем же каналам связи передаются речевые потоки, потоки данных, изображения и др. При этом отдельные виды информации требуют скорости передачи, которую не обеспечивает стандартный цифровой канал с пропускной способностью 64 кбит/с. В такой ситуации на станциях и узлах У-ЦСИО реализуется режим многоканальной коммутации, когда в зависимости от категории вызова производится одновременное занятие нескольких стандартных цифровых каналов.

Как следствие, при математическом описании мультисервисных систем необходимо иметь в виду, что поток вызовов будет отличаться по своим свойствам от потока занятия каналов. В частности, даже при ординарном потоке поступающих вызовов поток занятия каналов будет неординарным, так как для обслуживания отдельных вызовов каналы занимаются группами. С учетом указанного обстоятельства следует различать два понятия нагрузки: нагрузка по вызовам и нагрузка на каналы.

Для некоторого пучка каналов мгновенная интенсивность обслуживаемой нагрузки по вызовам в момент времени f имеет значение y(f), равное числу одновременно обслуживаемых вызовов. В отличие от этого, интенсивность обслуживаемой нагрузки на каналы есть число /(f) одновременно занятых каналов в момент f. В общем случае i{t) j{t), так как один вызов может занимать сразу несколько каналов.

Из аналогичных соображений в мультисервисных системах с многоканальной коммутацией необходимо различать соответствующие виды поступающей нагрузки: по вызовам и на каналы. В частности,

мгновенное значение интенсивности поступающей нагрузки по вызовам в момент времени f есть случайная величина, равная количеству вызовов, которые обслуживаются в рассматриваемый момент воображаемым пучком с бесконечным числом каналов.

Рассмотрим частный случай, когда для обслуживания каждого поступившего вызова требуется одинаковое число т свободных каналов. Тогда в любой момент времени обслуживаемая нагрузка на каналы будет в т раз больше обслуживаемой нагрузки по вызовам: i(t)= m-j{t). Если поток вызовов простейший и характеризуется параметром Л, то поступающая нагрузка по вызовам будет луассонов-ской, а ее математическое ожидание У; и дисперсию Ов можно вычислить [1, 4, 5] с помощью следующего соотношения:

у; = Da = Л/7,

где /7- среднее время обслуживания одного вызова.

В воображаемом бесконечном пучке каналов, как и в реальном пучке, число занятых каналов будет в т раз больше числа обслуживаемых вызовов. Отсюда вытекают выражения, позволяющие определить интенсивность поступающей нагрузки на каналы и ее дисперсию:

Yi, = mY = mX-h, 0= m-D = m-Xh. (17.7)

Здесь применяется следующее правило, известное из теории вероятностей: если случайная величина умножается на постоянный коэффициент, то на этот же коэффициент нужно умножить ее математическое ожидание, а дисперсия должна умножаться на коэффициент в квадрате.

Из приведенных формул видно, что 0 > Y, и рассматриваемая нагрузка является скученной, что обусловлено неординарностью потока занятий каналов. При этом коэффициент скученности равен числу каналов, которые требуются для обслуживания одного вызова.

m-X-h

= т.

(17.8)

При поступлении вызовов от источников разных категорий форму лы (17.7) будут справедливы для математического ожидания и дисперсии нагрузки на каналы, которая создается вызовами 1-\л категории, / = 1, л:

Yj = nriiXihi, D, = mfXihi.

Подставляя эти соотношения в формулу (17.6), можем найти коэффициент скученности объединенной нагрузки на каналы:

ХО,- mfXfy

-, i=i i=i

(17.9)

/=1 /=1

Полученное выражение имеет следующий физический смысл: коэффициент скученности мулуисервисной нагрузки равен средневзвешенному числу каналов т, которые требуются для обслуживания вызовов отдельных категорий, с весами тД/Л равными интенсивности нагрузки на каналы, создаваемой вызовами этих категорий, / = 1, л.

17.3. Приближенный расчет потерь вызовов на участке ЦСИО 1. Метод эквивалентных замен.

Рассмотрим полнодоступный пучок из V каналов, на которые поступает простейший поток вызовов с интенсивностью X, причем каждый вызов требует для своего обслуживания одновременно т каналов, m > 1. Каналы занимаются на случайное время обслуживания, средняя продолжительность которого равна h, и при завершении процедуры обслуживания все каналы из группы одновременно освобождаются. Если в момент поступления вызова в пучке отсутствует необходимое число свободных каналов, то вызов теряется.

При определении вероятности потери вызова я для анализируемой системы, которую в дальнейшем будем называть системой S, непосредственное применение первой формулы Эрланга нельзя считать обоснованным в силу неординарного потока занятий каналов. Вместо этого исследуем модифицированную систему S, состоящую из V = Wm комплектов, каждый из которых объединяет т каналов. Теперь отдельному поступившему вызову потребуется для обслуживания один такой комплект и, следовательно, поток занятия комплектов будет ординарным. Нагрузка в системе S определяется числом занятых комплектов (а не каналов), т.е. совпадает с нагрузкой по вызовам и является пуассоновской с интенсивностью Ув = Xh. Отсюда вытекает, что для расчета вероятности потери вызова в системе S можно воспользоваться первой формулой Эрланга:

7i = E(v,yB) =

С точки зрения статистических характеристик процесса обслуживания вызовов, системы S и S полностью эквивалентны и, в частности, очевидно, что л = я. Отсюда с учетом соотношений (17.8) и (17.9)

следует:

п=Е\

(17 10J

В самом общем случае, когда мультисервисная нагрузка создаете несколькими категориями источников с разной кратностью вызовов т суперпозицию поступающих потоков заменим одним потоком, ко\ торый имеет такие же значения математического ожидания Yk и дис Персии Dk нагрузки на каналы. Хотя в действительности непуассоноЕ ские потоки обладают достаточно сложными статистическими свойс вами, и для полного описания таких потоков требуется использование большего числа характеристик, на практике обычно предполагают что вероятность потери вызова слабо зависит от моментов нагрузк более высокого порядка и их можно не учитывать. Исходя из этих ображений, в дальнейшем будем руководствоваться следующим ут-; верждением.

Утверждение. Если известна вероятность потери вызова п в нек тором пучке из V каналов при мультисервисной нагрузке с интенсивно-1 стью Yk и коэффициентом скученности Zk, то в любом пучке с такими : параметрами V, Yk и Zk потери вызовов будут приближенно равны %.

Следовательно, вычислив коэффициент скученности объединенного потока вызовов по формуле (17.9), можем затем с помощью соотношения (17.10) определить вероятность потери произвольного вызова, что дает приближенную оценку средних (или общих) потерь. Между тем, для различных категорий источников нагрузки, как видно из неравенства (17.3), вызовы теряются при разных состояниях системы и, как следствие, вероятностные характеристики качества обслуживания вызовов будут отличаться. Для расчета индивидуальных потерь, т.е. вероятности потери вызова /-й категории, при / = 1, п, Можно воспользоваться приближенным соотношением из [6]:

п, =--п.

(17.11)

Таким образом, при обслуживании мультисервисной нагрузки, ко- орая имеет непуассоновский характер, расчет потерь вызовов в ис-одной системе заменяется аналогичной задачей для эквивалентной Системы, где такая задача может быть решена с использованием (ассических результатов теории Эрланга. Сравнительный анализ акого упрощенного подхода и более сложной математической модели, описанной в начале данного раздела, проведен в работе [9]. Как Свидетельствуют результаты численных расчетов, предлагаемые Приближенные формулы имеют точность, вполне достаточную для

E{x,Y)-B-B\

где В = Е(Л/, У), Si = Е(Л/+ 1, У), = Е( Л/+ 2, У), Л/= [X], Л = X - Л/. 2. Численный пример.

Пусть на пучок из V = 30 каналов поступают вызовы двух категорий, п = 2. Требуется определить общие (средние) и индивидуальные потери вызовов при исходных данных из табл. 17.1.

Решение задачи проводится в следующей последовательности.

Определяем общую интенсивность нагрузки на каналы от источников всех категорий: У* = тХЫ + nhkzfh = 1-300-120/3 600 + + 4-100-90/3 600 = 20 (Эрл).

Вычисляем дисперсию нагрузки на каналы от источников всех категорий: Dk=mXA +mA2/72 =1 300-120/3600+42 100-90/3600 = = 50 (Эрл).

Находим коэффициент скученности нагрузки: = D*/ У* = 50/20 = = 2,5 (Эрл).

По формуле Хейворда с использованием таблиц Пальма определяем среднюю вероятность потерь для общего потока поступающих вызовов: п = E(V/Zk, YjZk) = Е(30/2,5, 20/2,5) = Е(12,8) = 0,0514.

Получаем индивидуальные вероятности потерь для вызовов 1-й и 2-й категорий: я, = mi/Zk =1-0,0514/2,5 = 0,02056, n2 = mzlZk = = 4-0,0514/2,5 = 0,08224.

решения инженерных задач.

Выражение (17.10), которое называют формулой Хейворда, является одним из наиболее простых вариантов метода эквивалентных замен. Вопросы обоснования этой аппроксимации подробно исследованы в работе [7]. Среди отечественных публикаций следует упомянуть работу [8], где в кратком виде содержатся основные сведения по использованию аппроксимации Хейворда и воспроизводятся взятые из [7] численные примеры, которые иллюстрируют точность получаемых приближенных оценок.

В заключение отметим, что применение формулы Хейворда предполагает наличие процедуры вычислений по первой формуле Эрланга при нецелых значениях числа линий х. Как одним из возможных вариантов, можно воспользоваться следующей интерполяционной формулой: