niiconi;.

снм-

пепедптопиых функций члсто применяют

начальных условий тсчккюбмена

1 кования Лапласа i /- и 1 {!>] [т. I77M I ипасмос / (S) учшынтм илиипне (начального распрсделспил icMicpaTyp в ИПТ и обьектс); его роль с течением ире.\1енп т постепенно \-мсаьп!ается и старювится пренебрежимо маЛ1ТП,

Уравпеою (4,8) п,),туч<ае 1ся luT основе исходных ди11)4>еренцпальпых уравпеинй теплообтена (ел;, п, 1 2 классн(1л1каци] математических моделей). Схема в>г,д(л нл1>а1;1 пс]казана h;i рнс. 4.2. Си; налы па входе - основное ппфд рматт-.лое воздейс1Вне тем11ер;иуры обьекга, н по.мсхи приложены к г,;.!.Т11;га.о,1 Т(.1ч;(а?,1 ИИ Г, т, е. преоорг; ;yioroi его ра.ч:;[.!\1И переДаro4iiu\ui (.S), У, С-;), где i

.,ункцилми У(

-- 1, 2,

I

Вы/од

Рис. 4.2. Схема 150,!дсиствий:

( (т) - осиорлюе чоз.теигтнис; /, (т), /г С),.

... , / (т) - (юме.чи

п. Сигнал на вьькоде ИПТ - тем-iieparyjia чувс idii гсльиого элемента /э (t) - формируется как сумма всех преобразоваппььх выходных сигналов.

Каждая из передаточнььх функций одиозначио определяет нзмеиснне соответствующего входного сигнала в составляю-ш.ую результирующего сигнале на выходе. Таким образом, достаточно полное выявление методических погрешностей достигается введением совокупности нескольких передаточных функций, отражающих влияние каждого из воздействий. Взаимодействие ИПТ с объектом удается характеризовать с помощью одной (основной) передаточной функции У, (s) только в том случае, если влияние помехосоздаюпдих факторов оказывается пренебрежимо малым по сравнению с основным тепловы.м воздействием объекта Пт).

Структуры передаточных функции и их параметры находятся в процессе решения исходных уравпепи)) теплообмена. Если процессы теплообмена стационарны, то передаточные функции Y преобразуются в передаточные коэффициенты (/, определяющие значения стационарных (статических) составляющих результирующего сигнала на выходе ИПТ. При нестационарном характере теплообмена каждая из составляющих может быть представлена в виде статической и динамической частей.

Сигналы на входе ИПТ могут определяться в виде детерминированных или случайных функционально задаваемых воздействий, поэтому по мере прохождения этих воздействий через элементы ИПТ в выходном его сигнале можно выделить детерминированную и случайную составляющие. Схема составляющих методической погрешности показана на рис. 4.3.

С помощью уравнения (4.8) можно получить ряд других характеристик, в явном виде определяющих реакцию ИПТ на некоторые воздействия специального вида.

1. Уравнение переходного процесса gnepW- определяющее из.мене-ние температуры чувствительного элемента ИПТ при ступенчатом воздействии основного t (т) и поме.хосоздающнх /( (т) факторов.

2. Уравнение импульсной переходной характеристики /3 (т), когда воздействия на входе ИПТ, т. е. t (х) и /; (х), задаются в виде единичной импульсной функции, или б-функции Дирака.

3. Уравнения частотных передаточных функций V/ (ш) и У,- (ico), определяющих реакцию ИПТ на гармоническое воздействие заданной циклической частоты (О, из которых затем находятся выражения амплитудной А (ш) и фазовой ф (со) частотных характеристик,

Функции (т) и эи,п (т) называют также соответственпо переход-

ной .рупкцией и функцией веса.

Наряду с введенными ранее передаточными функциями Yi (i) и K/.(s), функции /*. (х), t (т), Yi (io)) н Yi (ioi) относятся к категории полпы.х характеристик, определяющих динамику теплообмена ИПТ.

В стационарных условиях теплооб.мена из уравнения (4.8) иа.кодят статическую характеристику ИПТ:

э.ст = У<< + S yJi. (4.9)

определяющую величину сигнала на выходе ИПТ (температуру его чувствительного элемента) в5зависимости от входных стационарных воздействий /и т У У ( ~ 2- ) ~ передаточные коэффициенты уравнения (4.9), получаемые из передаточных функций У< (s) и К,- (s):

у, = lim Yt (s), у = lim Y. (s). (4.10)

С учетом (4.10) выражение для статической погрешности ИПТ согласно (4.6) можно записать в виде

Дет = - = (i/r - 1) / + V! (/./.. (4.11)

При А = О статическая .характеристика ИПТ (4.9) переходит в его ио-мииальную (градуировочную) статическую характеристику.

При решении частных задач, например для оценки длительности установления показаний при измерении стационарных температур, оттенки качества переходного процесса

Состадляюшмв Merr,odu4ech-ou погрешмоспи ИПТ

Рис. 4.3. Составляющие методической погрешности на выходе ИПТ

или сравнения различных ИПТ по их тепловой инерционности можно использовать отдельные параметры передаточных функций или их комбинаторику. Для конкретных типов ИПТ или установок для измерения температуры эти характеристики

iполные или частные) могут РЫТЬ нормированы (см. ГОСТ 8.256-77).

Из-за большого разнообразия условий и требований к точности из.мерения температуры дать четкие критерии и рекомендации по выбору того или иного вида математической модели ИПТ в общем случае не представляется возможным. Относительная простота модели, т. е.. простота структуры характеристик ИПТ для оценки методических погрешностей, является одним из главных требований. Вместе с тем модель должна быть достаточно информативной и отражать наиболее существенные черты взаимодействия ИПТ с объектом, т. е. должен соблюдатбся разумный оптимум между строгостью задания модели ИПТ и формой представления расчетных решений. Необходимо отметить, что уравнения теплообмена ИПТ выводятся при неизбежной схематизации процесса теплообмена и содержат ряд коэффициентов, значения которых задаются с относительно высокой погрешностью (5.,.20 % и более). Поэтому приемы введения расчетных поправок в результаты измерения оказываются эффективными в тех случаях, когда

3 9-491

методические погрешности сравнительно невелики. Если оценка выявляет больпше .шачення методических hoiрсшностеп, то уточнение таки.х экспе-ри.ментальны.х данных путем введения расчетных поправок оказывается малонадежным. Требуется переход па новый тип ИПТ или использование иных методов измерения. Практическую оценку погрешностей целесообразно вести последовательно, начиняя с эле.меитарных оценок, а затем переходя к учету влияющих факторов второго и высших порядков.

4.4. Методические погрешности однородных ИПТ

Методические погрешности ИПТ наиболее подробно изучены для простых моделей термоприедшиков (рис. 4.4). Предполагается, что воспринимающая часть ИПТ изготовле11а из однородного материала с известными теплофизическими свойствами. Такими люделямн можно условно заменить некоторые конструкции незащпнтеипых или малогабаритных ИПТ: прово-сопротивления, юрмопар и термоанемометров (рис. 4.4, о), составных термоприемии-ков различных типов, конструктивно выполненных в виде стержней (рис. 4.4, б), плоских пластинчатых термометров сопротивления (рис. 4.4, в).

Конструктивные и физические параметры простых юдeлeй - длина L, определяющий размер R, площадь S

лочных термометров 2

Рис. 4.4. .\\одели однородных ИПТ:

а - прополочныГ!; б - стержпепой; в - плпсти.ччатый; 1 - собстпеино приемник; 2 - основание ПТ (державка или стенка); / - длина, иа которой расположен чувствительный элемент; L - определяющая длина ПТ; Ох - система координат

Рис. 4.5. Схема тепловых воздействий;

/ - ПТ; 2 - основание (державка) ПТ; 3 - стенка канала или экран

И периметр р поперечного сечения термопрнемника; коэффициенты теплопроводности X в продольном направлении (вдоль координаты х) ик в поперечном сечении термоприемннка; истинные или эффективные удельная теплоемкость с и плотность v материала термоприемника.

Важнейшие режимные факторы, определяющие теплообмен термоприемника (рис. 4.5),-температура исследуемой среды t (%) или Т (т); температура стенок канала, по которому проходит жидкость (газ) или температура экрана (если таковой имеется) tp (т) или Т(т); температура основания термопрлемника или стенки, где ои закреплен, (х) или осн W> плотность внешних источников энергии q (т) в расчете на единицу площади наружной поверхности термоприемника; плотность внутренних источников энергии w (т) в расчете на единицу объема термоприемника.

Интенсивности теплообмена термоприемника характеризуются коэффициентом конвективной теплоотдачи к исследуемой среде и коэффициен-

том теплообмена излучением iXj, между тер-\юприемпиком и экраном или стенкой.

Распределение температуры в продольном х и поперечном нап(г1Вле-ниях тер\юприемника в общем случае неравномерное. В зависимости от конструктивного оформления чувствительный элек;енг термоприемннка регистрирует либо среднюю по сечению температуру !g (х,х) для термоприем-ииков, показанных па рис. 4.4, а, б, либо [тептральиую температуру / (х, т), если чувствительный элеметтт расположен по оси (см. рис. 4.4, б) или в центральной плоскости (см. рис. 4.4, в) термоприемника.

Чувствительный элемент термопар и бусинковых полупроводниковых TepNmpe3HCTopoB сосредоточен в точке х = О, что соответствует температуре t (О, т). Для металлических или полупроводниковых термометров сопротивления, а также манометрических термометров, чувствительный элемент которых расположен иа некоторой длине /, происходит осреднение температуры на этом участке и измеряется средняя температура:

to (I. f) = 7- ] 0 {X, т) dx, ts (I, т) = -i- j 5 (X, T) dx.

(4.12)

При 10 t (/, t) = / (0, t), a /5 (I, T) = tg (0, T).

В соответствии с определениями 4.3 базовой математической моделью однородных ИПТ является их дифференциальное уравнение теплообмена, связывающее воздействия температур t (т) и t. (х) , тепловых потоков q (т) и W (т) со средними по поперечному сечению S и по периметру р температурами термоприемника /<; (х, т) и /р (х, т):

Э/5 (х, т) дЧ (X, т)

-г (т + nij,) 1р (л;, т) =

= (т) + mj (т)

-BJ{X)

9(т).

(4.13)

Обоснование вывода уравнения (4.13) дано в работах [217, 1050]. В уравнении (4.13) а - истинный или эффективный коэффициент те.\ше-ратуропроводности материала термоприемника;

cyS

(4.14)

Тепловой поток q (т) от среды к тер.моприемнику, возникающий в результате частичного торможения газового потока термоприемником, определяется соотношением

q (X) = [t (т) + 273,15] F = aFT (т).

F = r

k- 1

(4.15)

(4.16)

Здесь г - коэффициент восстановления термоприемннка; k - отношение теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме (показатель адиабаты); М - число Маха; v - скорость газового потока, а - скорость распространения звука в газе при температуре Т (т).

Используя взаимосвязь между температурами (х, т) и tp {х, х), устанавливаемую приближенно с помощью критерия неравномерности распределения температур <F, а также выражение (4.15), и вводя абсолютные

значения температур, взамен (4.13) патучаем уравнение, содержащее только тсАшературу {х, т):

dTs (х, т)

d-Ts (X, t)

т.ЧО -i-/ ) 7-(т) + т.КГр (т)

+ ( к + т ) ¥Ts (х, т) = 1

(4.17)

Криюрнй Ч в диапазоне его значений 0,6 < Y 1 рассчитывается но формуле 1217, 464 10501

1 -1-.-

(а + а ) R (3 + п)

(4.18)

в которой для термоприемннков цилиндрической формы п = 1, а определяющий размер R совпадает с их радиусом. Для пластинчатых термоприемников размер R равен их полуюлщине, а п = 0.

Граничными условиями для уравнения (4.17) являются задание температуры (т) основания термоприемника в месте его контакта со стенками канала или резервуара н отсутствие градиента температуры при х = О, которые записываются в виде

= 0.

(4.19)

Применяя к уравнению (4.17) преобразование Лапласа и решая ею с учетом (4.19), получаем уравнение вида (4.8), устанавливающее взаимосвязь искомой температуры с воздействиями для momctitob времени т, далеких от начального:

Гс (/, S) = YtT (S) -I- Y

Здесь Т5 (/, s) - изображение средней на участке / температуры (/, т) (см. определение (4.12)); s - параметр преобразования

is) и

Тэкр ~ изображение абсолютных температур Т (т), Т

Лапласа; Г (s), (т) и и

Tjip (т); W (s) - изображенпе источника теплоты w (т); Yt, Ксн экр Yw - передаточные функции однородного термоприемника соответственно по отношению к воздействиям Т (т), Тд (т), Т (т) и ai (т). Структура передаточных функций следующая: Yt = тк (1 + F) ¥(р.

5экр = лФ. >осн =

1рГ w

s+{m + тл)

chp ;

(4,21) (4.22)

(4.23) (4.24)

Функция (4.21) определяет передачу и преобразование основного (полезного, информативного) сигнала - температуры среды (т), а функции (4.22) - передачу помехосоздающих (неинформативных) воздействий - температур t (т), р (т) и источника теплоты w (т).

В стационарном режиме теплообмена все воздействия во времени постоянны и из уравнения (4.20) путем предельного перехода можно оп-

ределнть статическую характеристику однородного ИПТ в форме уравнения (4.9), а затем найти выражение для статической мегодической;ло-грешпости ИПТ, В соответствии с выражением (4,11) статическую погрешность измерения температуры текучей среды (жидкост, (иза) Д/ (J) = = /5 (О - t= (I) - Т можно выразить в ви.де суммы .оставляющих от каждого из четырех воздействий:

Д (Ост=А/ + Дос + Аэкр-г-..,

A/ = [I m, (1 + f) <Гф] г =

1-(1 -f Л(1 -11)

Доен = 117осн; Дэкр = лЧФП

гст жр

(1 - Г]) ал

к + л

А,., =

Т1 =

Фст =

(1 -rpS

ShpP;

(Wk + ял) у a

( к + л)

Фст =

(m + mF

(4,25)

Г; (4.26) (4.27)

(4.28) (4.29)

Расчет методической погрешности прн нестационарных режимах теплообмена базируется на решениях уравнения (4.20), Упрощенные соотношения между измеренной температурой и воздействиями находят заменой точных уравнений передаточных функций (4.21), (4.22) их приближенными выражениями. Так, при относительно медленных измеиени-7 эр ( ) 7 осн () () и при выполнении условия р > 3 комплекс ф, определяемый выражением (4.23), можно заменить соотношением

e,s

( к + л) у

/ () = th р +1 -

1 -г,

1 + es

.(4.30)

(4.31)

(4.32)

аостальные параметры находятся в соответствии с (4.14), (4.18), (4.24),

Подстановка (4.30) в (4.21), (4.22) и обратный переход от (4.20) к оригиналам устанавливают вид приближенного дифференциального уравнения связи между измеренным значением температуры и воздействиями:

dTo (t, т)

е--+7s(/, т) = т,Д (1 + Л Фет 7-(t)-f

+ лФ 7экр (-С) + Фет - W + riTo , (т),

(4.33) 6