ющем наблюдателя. Помните у Джека Лондона: В воздухе от мороза алмазная пыль .

Причина возникновения гало - преломление света в ледяных кристалликах и отражение от их граней. Преломление приводит к появлению слегка окрашенных в радужные цвета элементов гало. При отражении образуются белые элементы гало; цвет этих элементов совпадает с цветом солнечного (лунного) диска.

Ледяные кристаллики, как известно, имеются во многих облаках. Несмотря на это, гало наблюдаются относительно редко. Дело в том, что кристаллики в облаках имеют обычно неправильную форму. Для возникновения же гало важно, чтобы большинство кристалликов имело правильную форму, а именно форму илестигран-ных призм, которые в отдельных случаях могут иметь на торцах шестиугольные пластинки (рис. 9.3). Подчеркнем, что своей замечательной симметрией гало обязано правильной форме ледяных кристалликов. При этом сугцест-венную роль может играть упорядоченная ориентация в пространстве осей кристалликов. Нетрудно показать, как именно возникают те или иные элементы гало в результате преломления и отражения света на ледяных шестигранных призмах. Мы займемся этим позднее, а пока обратим внимание читателя на то, что гало по своей природе родственно радуге.

Радуга возникает в результате преломлений и отражений световых лучей в каплях дождя, а гало связано с преломлениями и отражениями света в ледяных кристалликах облаков. Радугу наблюдатель видит в стороне, противоположной солнцу, тогда как для на-

блюдения колец гало он должен повернуться к солнцу лицом. В главе, посвященной радуге, мы приводили замечание Ньютона, касающееся углов между падающими на каплю дождя и выходящими из нее световыми лучами: Там, где эти углы наибольшие или наименьшие, выходящие лучи более сгущены . Напомним, что основную радугу наблюдатель видит под наибольшими для каждого цвета углами отклонения луча, а дополнительную - под наименьшими. Малое гало, как и большое, возникает в результате двукратного преломления лучей в кристалликах-призмах. Наблюдатель видит гало под наименьшим углом отклонения луча.

Наименьший угол отклонения луча в призме. Проследим прохождение светового луча определенной длины волны через трехгранную призму с преломляющим углом в и показателем преломления п (рис. 9.4,а). Изображенный на рисунке луч падает на левую грань призмы под углом а,. Используя закон преломления в точках Л и В, запишем:

В результате прохождения через призму световой луч отклоняется от первоначального направления на угол С, СБ; обозначим его через б и будем в дальнейшем называть углом отклонения луча. Учитывая, что C,CB=Z.CAB+ -\-Z.CBA заключаем:

б=(а,-3,) + (а2-32). (9.2)

Далее заметим, что

Z.DiDB=Z.DAB + Z.ABD=i + P2.

Поскольку Z.DfDB=Z.AOB, то, следовательно,

Pi + p2=e. (9.3)

С учетом (9.3) перепишем (9.1) и (9.2) в виде

sinai/sinPi = n,

sina2/sin(e -3i)=n, > (9.4)

6 = 01+02 - ©-

sin Oi

sin p

= rt;

sin as sin Ps

= n. (9.1)

Рассмотрим случай с симметричным ходом луча в призме - когда траектория луча симметрична относительно биссектрисы преломляющего угла (рис.9.4, б). В данном случае

Oi=02 = 0,

б=2о -в, 3, = 323=в/2

С учетом этих равенств пере-

пишем закон преломления-г = п в следующем виде:

sin = nsinj.

(9.5)

Отсюда находим

6 = 2arcsin (nsin-)-е. (9.6)

В Лекциях по оптике Ньютон с помощью геометрических рассуждений доказывает, что при преломлении однородных лучей в призме угол, составляемый падающим и выходящим лучами, получается наибольшим тогда, когда тут и там преломление одинаково . Под однородными лучами Ньютон понимал монохроматические лучи, а под углом, составляемым падающим и выходящим лучами ,- угол АС В (рис.9.4,а), т. е. угол, равный 180° - б. Итак, угол отклонения светового луча при прохождении через призму оказывается наименьшим при симметричном ходе луча.

Докажем это утверждение, применяя метод дифференцирования функции. Будем рассматривать угол 6 как функцию угла р однозначно связанного с углом падения луча на входную грань призмы а,. Согласно третьему уравнению системы (9.4),

S(pO=a,(pO-bct2(Pi)-e.

Чтобы найти значение угла р при котором угол 6 минимален, надо продифференцировать 6 по р, и приравнять производную к нулю:

(9.7)

dp, dp, dp.

Из первого уравнения системы (9.4) следует, что

a,=arcsin {п sinp,),

а из второго следует, что

2 = arcsin (nsin (в -р,)).

Напомним, что

d .... 1 df

arcsin/ (х) =-

/ГТ dx

Таким образом,

da, ncosp,

Р )/l-n4inp,

da2 ncos(e -P,)

/i-nsin (e-p,)

Подставляя эти производные в (9.7), находим

cosPi / 1 - nsin(e -Pi) =

= cos(e-Pi) /l-nWpT

v/(l-sinp,)(l-nsin2(e-p,)) =

= / (1 - sin(e - p,))(l - sin%).

Отсюда получаем р,=в/2, что как раз и соответствует симметричному ходу луча через призму.

Объяснение возникновения малого гало. Малое гало возникает вследствие показанного на рисунке 9.5,а двукратного преломления луча в шестигранной призме (ледяном кристаллике). Это соответствует прохождению луча сквозь трехгранную призму с преломляющим углом 6=60°. Выходящие из кристалликов лучи будут наиболее сгущены тогда, когда они испытают в призме наименьшее отклонение. Выше мы выяснили, что такая ситуация отвечает симметричному ходу лучей