капле, объясняющий возникновение основной радуги. Теперь проведем аналогичное рассмотрение для дополнительной радуги. В этом случае, вместо рисунка 8.4, надо использовать рисунок 8.8. В точке А световой луч, преломляясь, поворачивается на угол а-Р; в точках В и С он, отразившись, поворачивается на угол 180°-2р (в каждой из этих точек); наконец, в точке D луч, преломившись, поворачивается на угол а-р. Таким образом, выходящий из капли луч bZ),. участвующий в формировании изображения дополнительной радуги, оказывается повернутым относительно исходного направления на угол 2(а-Р)--+2(180°-2Р)=360° + 2а-бр. Это есть угол 180°+7 (см. рисунок). Отсюда следует, что

у=180° + 2а -бр. (8.10)

Заметим, что на рисунке 8.8 не показаны, как не представляющие в данном случае интереса, лучи, отраженные в А т D, а также лучи, преломленные в В и С (следует напомнить, что луч, преломленный в С, участвует в формиро-

вании изображения основной радуги).

Используя (8.10), выразим угол Р через у и а, после чего равенство sina/sinp=n примет вид

sin ( 30°+5)=.

Отсюда следует, что

/ = 180° + 2a-6arcsin (),

или, с учетом того, что sina=

y=180° + 2arcsin -

- 6arcsin(/n). (8.11)

При нулевом прицельном параметре (1=0) получаем у=180°. По мере увеличения (от О до 1) угол у уменьшается; при некотором значении он достигает минимума, а затем снова возрастает до 180°. Можно показать (см. задачу, рассматриваемую ниже), что для желтых лучей минимальное значение угла у составляет 52°52. Именно под этим углом к наблюдателю будут попадать наименее расходящиеся, а значит, и наиболее яркие лучи.

Изображение основной радуги формируется лучами, выходящими из капли под наибольшим углом, образуемым лучом СС, с исходным направлением; этот угол близок к 42°. Что же касается дополнительной радуги, то она формируется лучами, выходящими из капли под наименьшим углом, образуемым лучом DD, с исходным направлением; этот угол близок к 53°. Разумеется, речь идет о разньгх лучах; если в первом случае имеются в виду лучи, вышедшие из капли после двукратного преломления и одного отражения, то во втором случае рассматриваются лучи, испы-

тавшие два преломления и два отражения (сравните рисунки 8.4 и 8.8).

Решим задачу. Для желтых лучей найти минимальное значение угла у (рис. 8.8). При каком прицельном параметре реализуется этот угол?

Чтобы найти искомый прицельный параметр g, надо продифференцировать функцию y(Q, определяемую выражением (8.11), и затем приравнять производную нулю. Производная функции v(?)

Приравняв ее нулю, получим уравнение:

Решая это уравнение, находим

(8.12)

При п=4/3 (желтые лучи) получаем g=0,950. Подставляя этот результат в (8.11), находим vmin =52°52.

Возникновение основной радуги пояснял рисунок 8.7. Возникновение дополнительной радуги поясняет рисунок 8.9. Здесь заштрихована область, в пределах которой в глаз наблюдателя попадают лучи, испытавшие в каплях дождя двукратное преломление и дву-

кратное отражение;. вне этой области такие лучи к данному наблюдателю не попадают. Наиболее яркими будут лучи на границе заштрихованной области, т. е. лучи от капель вблизи точек С, и D,; эти лучи более сгущены . Указанные лучи как раз и образуют изображение светящейся дуги - дополнительной радуги. Небо над дугой будет представляться наблюдателю более светлым, чем под дугой. Учитывая последнее замечание, а также аналогичное замечание, сделанное ранее при рассмотрении основной радуги (там, наоборот, более светлым представлялось наблюдателю небо под дугой), заключаем, что в случае двойной радуги небо между основной и дополнительной дугами должно представляться наблюдателю менее светлым, чем над дополнительной дугой и под основной дугой. Тем самым получает объяснение темноватая алек-сандрова полоса - промежуток между основной и дополнительной радугами.

Чередования цветов в основной и дополнительной радугах. До сих

пор мы полагали, что капли дождя освещаются монохроматическим светом (например, желтым). В действительности же в солнечном

спектре представлены различные длины волн; именно поэтому реальная радуга оказывается не просто светлой дугой, а дугой красочной, разноцветной.

Сделаем следующий шаг: учтем немонохроматичность солнечного света.

Будем для простоты рассматривать только две длины волны; пусть они характеризуются показателями преломления Пк= 1,331 (красный луч) и Пф= 1,344 (фиолетовый луч). Подставляя эти значения показателя преломления в формулы (8.8) и (8.9), получаем для основной радуги: красный луч - к =0,862, Yk=42°22, фиолетовый луч- ф =0,855, Y*=40°36. На рисунке 8.10 изображены тра-

ектории красного и фиолетового лучей в случае, когда каждый из них по выходе из капли образует наибольший угол с первоначальным направлением.

Мы видим, что этот угол различен для лучей разного цвета (> >Ъ). Вспомним у Ньютона: Так как различные роды лучей составляют различные наибольшие и наименьшие углы, то лучи, наиболее плотно собирающиеся у различных мест, имеют стремление к проявлению собственных цветов . Наблюдатель будет видеть красную дугу под углом 42°22 й фиолетовую дугу под углом 40°36. Теперь понятно, почему радуга разноцветная и почему внешний край основной