Хотя вид семейства выходных ВАХ кажется вполне обычным, теоретический анализ их крайне сложен. Причинами этого являются: крайне малые размеры структуры, короткий (единицы микрометров) канал, наличие падающего участка на зависимости подвижности электронов от напряженности поля в канале, необходимость учета саморазогрева структуры и возможность возникновения в них доменов. Попытки анализа ВАХ GaAs мощных ПТШ предприняты во многих работах [41-43, 53], но онн не привели к достаточно простым аналитическим выражениям для описания семейства ВАХ. Поэтому целесообразно пользоваться аппроксимациями, описанными в дальнейшем.

2.3. Аппроксимация вольт-амперных характеристик мощных полевых транзисторов

Аппроксимация выходных ВАХ мощных ПТ означает подмену реальной завнси.мости тока стока /с от напряжения UCH и изи на некоторую достаточно простую математическую зависимость Ic{U ) При этом отслеживаются два пути аппроксимации - применение формальных зависимостей /с(№и, изи ) и корректировка теоретических зависи.мостей, полученных из анализа физико-топологической модели приборов. Хотя второй путь выглядит более предпочтительным, на деле он далеко не всегда реализуем, так как теория ВАХ мощных приборов не дает достаточно простых н пригодных для практических расчетов выражений. В них входит множество неизвестных разработчикам схем физико-топологических параметров мощных ПТ.

Естественно, что аппарат аппроксимации ВАХ постоянно пополняется новыми расчетными выражениями по мере разработки новых типов мощных ПТ. Трудности аппроксимации связаны с необходимостью аппрокси.мнровать полные семейства ВАХ, т. е. с вынужденной двухмерностью аппроксимации. Это затрудняет применение некоторых универсальных методов аппроксимации нелинейных зависимостей, например полиномиальны!;. Далее полагаем исток заземленным и считаем, что изи =U3 и Ус и =Uc-

Одной нз первых была предложена лннейно-эхспоренциалъная аппроксимация семейства ВАХ мощных МДП-транзисторов КП901, КП902 и КП904 [11, 44]:

IciUc, из )=SoiU3H -Uc)[l-expl-kUai l(U3i\-Uo)]] (226)

при 0<([/ЗИ - [/о)5£/с макс/So.

/с = /смакс (2.27)

при [/З-[/о /с макс/So.

Передаточная характеристика прн этом состоит нз трех отрезков (рис. 2.15). На участке / мощный ПТ закрыт, на участке 2 ток /с пропорционален разности U3-Uo, а на участке 3 /с=/смакс. Напряжение U?m= = [/о-f-c макс/So, крутизна So = const соответствует наклону участка 2 аппроксимации передаточной ВАХ.

Для подбора параметра аппроксимации надо выбрать некоторую кривую в пределах рабочей области ВАХ и на ней найти точку /оо,5 = 0,5/с пр, где /с пр - предельное значение тока стока, к которому стремится значение тока стока, определяемое по этой кривой тогда (учитывая экспоненциальный характер кривой)

A=-ln2(f/з-t/o)/f/co.5 063(fЗ-o)/f/co,5

при малых иен, когда Шеи <([/з-t/o), можно разложить экспоненциальную зависимость (2.26) в ряд и, ограничившись учетом двух первых членов, записать

/с [/сй5 =[/с/Лк ин, (2.28)

где i?KMHH=l/ASo-ного ПТ.

минимальное сопротивление канала включенного мощ-

Параболически экспоненциальная аппроксимация передаточной ВАХ [14, 44] позволяет учесть плавный переход от участка 2 (рис. 2.15) к участку 3 (см. штриховую линию). Это заметно улучшает точность аппроксимации прн больших [/ 3. в соответствии с этой аппроксимацией передаточная ВАХ описывается выражением

/с([/з)=5([/з-[/ -Ь[/з=), (2.29)

а полное семейство ВАХ

/с(6с, уз)-5([/з-[/о-Ь[/з){1-ехр[-р[/с/([/з-£/о-&/з)]}- (2.30)

Коэффициент b определяется по ряду точек передаточной ВАХ с помощью простых программ параболической аппроксимации [44-47]. Для расчета коэффициента р можно воспользоваться паспортными значениями Uc=Uca для некоторого тока /с=/со. Тогда из (2.30)

v = -

S, (t/co-f/o-*t/2 j

(2.31)

в этих выражениях So определяет крутизну начального участка передаточной характеристики. С ростом [/3 >Vo крутизна S будет постепенно уменьшаться (что и наблюдается на практике). Плавное уменьшение S при уменьшении и 3 до значения Uo эта аппроксимация не описывает.

В табл. 2.1 приведены типовые параметры Uo, So и коэффициенты b

Таблица 2.1. Параметры аппроксимации передаточных характеристик и ВАХ мощных МДП-транзисторов с горизонтальным каналом

и р данной аппроксимации для ряда мощных МДП-транзисторов с горизонтальным каналом. Погрешность аппроксимации семейства ВАХ лежит в пределах 5... 20% (типовое значение 10%), что совпадает с практическими расчетами.

Полиномиально-экспоненциальная аппроксимация позволяет довольно точно описывать семейства ВАХ и передаточные характеристики любых МДП-транзнсторов. При это.м передаточная характеристика описывается полиномом я-й степени:

/с (£/3) = о + flits + <и\ -)-...+ а и%. (2.32)

Для вычисления коэффициентов Со, ах, .....Сп можно воспользоваться

стандартными программами полиномиальной аппроксимации для программируемых микрокалькуляторов и персональных ЭВМ [46]. Как и ранее, семейство выходных ВАХ аппроксимируется экспоненциальными функциями.

На рис. 2.16 представлены результаты аппроксимации передаточной характеристики мощного УМДП-транзнстора КП913 полиномами 3- и 5-й степени. Нетрудно заметить, что точность аппроксимации рабочего участка передаточной характеристики довольно велика. Однако за этими пределами погрешность аппроксимации резко возрастает и асимптотическое поведение передаточной характеристики описывается неверно. Это существенный недо-

-с иако

а/7/?ро/<сс/т(1/я

20 15 10 5

Рис. 2.15. Простейшая кусочно-линей-иая аппроксимация передаточной .характеристики мощного МДП-транзистора (штри.ховой линией показана параболическая аппроксимация)

° 5 10 15 20и,В

Рис. 2.16. Полиномиальная аппроксимация передаточной характеристики мощного МДП-транзистора КП913 в диапазоне напряжений [/3=4... ...20 В при степени полинома 3 (точки) и 5 (кружочки)

статок полиномиальной аппроксимации при использовании ее для анализа схем, работающих в режп.ме большого сигнала.

Логарифмически-экспоненциальная аппроксимация [48], представленная в обобщенном виде выражением

у(х)=а1п{14-ехр[Ь(х-Ло)]}, (2.33)

обладает интересным свойством - она описывает две прямые на плоскости, плавно переходящие друг в друга. Здесь Хо - абсцисса точки пересечения прямых. Используя несколько членов (2.33), можно описывать срункиии, представляемые несколькими отрезками прямых. Коэффициенты с. и Ъ аппроксимации позволяют задавать резкость перехода от одной кривой к другой. Так, используя два члена (2.33), можно описать передаточную характеристику, грубо имеющую вид рис. 2.15, в виде плавной кривой [49]

/с(£/з)=й,1п{1+ехр[5,(£/з-£/,)/йЛ-Ып{И-ехр[(52-5,)(£/з-[/2)/Й2]}, (2.34)

где fei=A/,/ln2, Й2=-Д/2/1п2, S={h-h)I{..-U,), S, (h-h)/(U,-U,) и индексы соответствуют номерам точек на рис. 2.17. В данном примере (аппроксимация передаточной ВАХ мощного V МДП-траизнстора КП913) й,=2,89 А, fe = -3,17 А. S,=2,72 А/В, S2=0, [/, = 8,2 В, [/2=16,4 В. Как видно из рис. 2.17, погрешность данной аппроксимации очень мала и расчетные точки прекрасно укладываются на аппроксимируемую кривую. Аппроксимация правильно описывает асимптотическое поведение передаточной характеристики, и ее параметры легко вычисляются. Единственным недостатком этой аппроксимации является большой объем вычислений: для каждой точки надо вычислять четыре трансцендентные [-уикции, что замедляет анализ и моделирование схем на ЭВМ,

Аппроксимация гиперболическим тангенсом удобна при описании симметричных кривых. У многих УМДП-транзисторов (КП911, КП913 и др.) передаточные характеристики почти симметричны и могут описываться функцией [49] c=Л-fSth[C([/з -Us)]. Коэффициенты А и В этой аппроксимации определяются из условия

/c=/s, dlc/dUa =So

при Uj-Ug,

/С->-/см прн [/З-оо.

Таким образом

Л = /8, B = /s и C=So s, (2.35)

где Us, /s - координаты средней точки (перегиба) передаточной характеристики. В эт0.м случае

На рис. 2.17 светлыми кружками показан результат аппроксимации пс (2.36) передаточной характеристики V МДП-транзистора КП913.

В большинстве случаев языки программирования ЭВМ не имеют функции, вычисляющей th(x), и приходится пользоваться 1,ормулой .U , ч е + е-- tj-l/ij

где у=е. Второе представление предпочтительней, так как требует однократного вычисления у=е.

С учетом сказанного аппроксимация передаточной характеристики моч;-яых УМДП-транзисторов гиперболическим тангенсом является одной из наиболее удачных. Ее погрешность ие превышает 5%, опоеделспие параметров аппроксимации идет через Лизические параметры (5о, /cvjkc) iiлегко определяемые координаты (Us. Is) точки перегиба. Правильно оп1!сываотся асимптотическое повсден::о перетаточной характеристики.

Для аппроксимации полного семейства ВАХ можно использовать выражение

Ic(Uc, ГУз)=Л/[1-ехр(-/С/с5о/АГ)], (2.37)

где M=/s{I-flhtSo(C/3-[/s) s]}.

Для вычисления параметра аппроксимации k можно использовать вытекающее из (2.37) выражение й= (/ акс/[/с5)1п(I-/с акс), где /..а-с и /с- токи стока при бз =20 В; [/с = С/с макс =60 В и[/с = [/з=20 В соответственно. На рис. 2.18 показан результат аппроксимации семейства В.А.Х мощ-

h 10

20 15 10 5

О 5 Ю 115 20 1/щ,В

Рис. 2.18. Аппроксимация полного семейства ВАХ транзистора КП913 с помощью (2.37)

Рис. 2.17. Аппроксимация передаточной характеристики транзистора КП913 с помощью (2.34) \иол =60 В)

ного V МДП-транзистора КП913. Разновидность подобной аппроксимации описана з [50].

Аппроксимация ВАХ GaAs мощного ПТШ, построенная иа базе экспоненциальной аппроксимации выходных ВАХ, [51]. Она ведется по формулам

/с([/з. f/c)=/c(t3. tc)X

- в ехр (-/+ Т (I f/з 1 + Фб) *)

/с(з. f/c)=(f3-io)[l-exp \~Ш1{и-иж

где Фб -потенциал барьера Шотки; А, N, к. В, Р, Т, Y 2-фициеиты аппроксимации.

(2.38)

(2.39)

коэф-

Сомножитель Tc(Uз, Uc) в (2.38) описывает ВАХ без учета аномальной зависимости скорости дрейфа носителей от напряжеиности поля. Первые два сомножителя (2.39) описывают передаточную ВАХ прн фиксированном Uc, последний - крутую область выходных ВАХ. Второй сомножитель в (2.38) учитывает всплеск скорости носителей и позволяет описать падающие участки ВАХ.

На рис. 2.19 дан пример аппроксимации семейства ВАХ GaAs мощного ПТШ АП602 при Л = 45,4-10-3; JV=1,4; ft = 3,2; В=24,4; Р=9,4; Т=3,1; 41=1,5; 42=2; фб = 0,75 В и t/o=-3,5 В. При расчете ВАХ учитывались сопротивления стока Гс и истока Ги (гс = Ги = 3 Ом). Качество аппроксимации хорощее.

Аппроксимация с учетом лавинного пробоя позволяет описать резкий загиб кривых ВАХ вверх прн напряжениях, близких к напряжению пробоя и ар (см. рис. 2.1,6). Для этого достаточно умножить ток /с на множитель -Л1 ((Уси) - коэффициент лавинного умножения носителей. Формально для этого можно использовать выражение

А(си)= i-(£;,Unp) - -

обычно применяемое для р-п переходов. Показатель степени п определяет резкость загиба кривых.

Аппроксимация с применением (2.40) не позволяет описать возникновр-ние падающих участков ВАХ при пробое. Однако следует учесть, что в отличие от биполярных транзисторов, у которых режим лавиииого пробоя нашел практическое применение [52], для всех типов мощных ПТ он крайне опасен и ведет к выходу нз строя или быстрой деградации характеристик. Поэтому точная аппроксимация ВАХ иа участках пробоя вряд ли необходима. Применение аппроксимации (2.40) позволяет установить резкое возрастание тока стока при t/CH->-(/np, что необходимо для принятия мер по предотвращению пробоя. Подобная аппроксимация используется в [40].

В ряде работ [51, 53] описаны аномалии ВАХ, возникающие вследствие электрического, теплового и вторичного пробоев. Еще раз подчеркнем, что знать о них разработчику схем нужно с одной-едннственной целью - обеспечить режимы работы ПТ, предотвращающие попадание рабочих точек иа аномальные участки ВАХ.

Единые для полевых и биполярных транзисторов аппроксимации полезны при совместном применении полевых и биполярных транзисторов, поскольку позволяют представить их едниой системой параметров. В [54] с этой целью семейство ВАХ аппроксимируется следующей системой уравнений:

/с=/, [ехр (Шз) ехр(-Яс£/с)]. (2-41)

з = зи-иехрШз, (2.42)

tC=3C- cC С- (2-43)

Здесь из п Uc равны UsH н t/си соответствеиио за вычетом падений напряжения на сопротивлениях истоковой Гн и стоковой Гс областей.

Методика определения параметров аппроксимации (2.41) -(2.43) подробно описана в [55]. В табл. 2.2 приведены данные об аппроксимации мощ-

ного МДП-транзнстора КП904А, лампового прибора ГС-15Б и кремниевого биполярного транзистора КП956А. ,.пппи л

На рис. 2.20 представлены семейство ВАХ транзистора КП904А и результаты его аппроксимации. Погрешность данной аппроксимации резко ухудшается в начальной области ВАХ. Более того, прн UcHO эта аппроксимация дает значения /с, заметно отличающиеся от нуля. Поэтому ее мож-

80 40

3 2 i

г 3 и,,в

т 20 30

со и,в

Рис. 2.19. Аппроксимация полного семейства ВАХ GaAs мощного полевого транзистора с барьером Шотки АП602

Рнс. 2.20. Аппроксимация семейства ВАХ мощного полевого транзистора КП904А с помощью (2.41)-(2.43)

но применять лишь в тех случаях, когда попадание рабочей точки в начальную область ВАХ исключено (например, в ВЧ- и СВЧ-генераторах и усилителях мощности).

Все рассмотренные выше аппроксимации не способны обеспечить малую погрешность аппроксимацнн - обычно менее 8...107о. Это связано с тем, что их параметры определяются по небольшому числу исходных точек ВАХ, нередко выбранных на одной кривой. Данный недостаток устраняется при использовании двухмерной сплайн-аппроксимации семейства ВАХ. При такой аппроксимации исходными данными являются М кривых семейства ВАХ. Каждая кривая представляется N отсчетами (точками). Числа М л N могут быть любыми целыми. Каждая кривая ВАХ описывается квадратичной или кубической параболой, проходящей через три ближайшие точки. Таким образом, для каждой заданной точки ВАХ используется свой аппроксимирующий полином второй или третьей степени. Это позволяет найти три значения /с при любом [/Си и фиксированных Сзи. Применяя аппарат сплайн-аппроксимации, по этим трем значениям можно найти /с для любого Uзи

Прекрасные результаты дает кубическая сплайн-аппроксимация, позволяющая получать непрерывность не только самой сплайн-функции, но и ее первой и даже второй производной. Однако в двухмерном приближении такая аппроксимация слишком сложна и дает явно избыточную точность. В [46] описана кусочио-квадратичная двухмерная аппроксимация семейства ВАХ ПТ. Методика ее проведения приведена ниже.

Для большей общности (аппроксимация используется для описания ВАХ любых приборов с монотонными характеристиками, включая СИТ) будем рассматривать зависимость Z=f{X, Y). В нашем случае Z=!c, XUw в У=изи. Допустим, имеется ряд кривых (ие менее трех) зависимостн Z= = f{X, Y) (рис. 2.21), тогда алгоритм аппроксимации будет следующий:

1, Функция F = Z(X, Y) задается в виде матрицы F{I Y), где / - номер строки таблицы (или кривой графика); / - номер столбца. Прн нумерации / и У с нуля 0</<Л-1 и 0<У<Л/-I. Задаем также приращения (шаги) AX = /i = const и Ay=/=const, а также граничные значения а (обычно 0) для X и b для У.

3-4462 33