Приложения теории надежности программного обеспечения 257 Пример За.

т = 6, 2 = 3, Из = 1, п4 = 1; Pi = 0,5, Рг = 0,33333, Рз=0.1, Р4 = 0,066667; fi = О, f2 = 1, fs = О, f4 = 0.

Учитываемые Значения аппроксимирующей функции

параметры Y = 0,50 Y = 0,90 Y = 0,G5

Co 0,7563 0,6261 0,5863

Co. oi 0,7560 0,6259 0,5867

По, а,- аз 0,75552 0,62651 0,58815

ho, ai, a, аз 0,75536 0,62698 0,58873

Пример 36.

Параметры выборки те же, что в примере За, но fi = О, f2 = О, fs = О, fi = 1.

Учитываемые Значения аппроксимирующей функции

параметры Y = 0,50 Y = 0,90 Y = 0,95

Co 0,8016 0,6816 0,6439

as о, 0,80384 0,68020 0,64058

Pa, a\, 02 0,80436 0,68045 0,640,27

Qo, a аг, Оз 0,80372 0,68115 0,64068

Примеры За и 36 указывают на то, что аппроксимация функции плотности распределения с помощью функции вида (6.32) первого или даже нулевого порядка является вполне приемлемой, по крайней мере в том случае, когда речь не идет об узких доверительных границах.

6.3.2. Выводы

Байесовский метод определения нижних довери-тааьных границ надежности программного обеспечения в сочетании с подходом, разработанным Вольфом, может быть применим почти во всех ситуациях, допускающих любое число подмножеств в разбиении множества Е, произвольные размеры выборок массивов данных, наличие отказов. Однако, как уже указывалось, байесовский метод в одних случаях может быть относительно консервативным, а в других--относительно оптимистичным. Точнее, с помощью данного метода получают значения нижних доверительных границ надежности, меньшие или соответственно большие тех, которые дает метод Неймана.

558 Глава €

Таким образом, для того чтобы сделать процесс анализа и разработки программ управляемым, необходимо провести дальнейшее исследование метода Неймана, ограничиваясь, быть может, лишь случаем одного или двух отказов. Необходимо также дальнейшее развитие исследований в направлении сопоставления двух методов, результатом чего могла бы стать корректировка байесовского подхода с целью приведения его в соответствие с методом Неймана. Такая корректировка позволила бы построить более рациональную методологию получения доверительных границ с помощью несложных вычислений байесовского метода.

6.4. Анализ эффекта устранения ошибок в программном обеспечении

После выявления ошибки в программе, например в результате возникновения отказа и последующего анализа программы с целью определения источника ошибки, вероятность отказа Р и надежность R программы р становятся иными. Для исследования характера этих изменений произведем оценку совокупного влияния различных ошибок на величины Р и R. Прежде всего рассмотрим вероятность отказа P, связанную с наличием только одной ошибки. Эта вероятность может быть представлена следующим образом:

где у\1 = 1, если ошибка 1 приводит к отказу программы на наборе данных Е,-, и ум = О в противном случае. Динамической переменной уи приписываются два индекса, чтобы показать, что она определяет влияние на вероятность отказа ошибки 1. Подобным же образом можно представить вероятность отказа Рг при наличии двух отказов программы:

. Рг = Z Pl (Fu + f/2i - JuJ/2i),

где у21 - динамическая переменная, определяющая влияние ощибки 2. Можно видеть, что совместное влияние двух ошибок на вероятность отказа программы при некотором входном наборе данных не является простой суммой эффектов от каждой из ошибок; член у\1у21 обеспечивает соответствующую компенсацию для тех входных массивов данных, для которых отказ связан как с ошибкой 1, так и с ошибкой 2.

Выражение для вероятности отказа, связанного с наличием более чем двух ошибок, может быть получено путем введения новой переменной гц, имеющей два индекса и определяемой с помощью следующей рекуррентной процедуры:

Z-?.i -- iu.+ У21 - УиУ21 = 1 - (1 - уц) (1 - yi),

Zfi = Ун + I - yjiZi u г = 1 - П (1 - Vki)-

Изменение величины вероятности отказа программы при обнаружении и исправлении некоторой ошибки / определяется как

Р/ - Р/-1 = Z {Ун - yiiZj-u i) =

N N /-1

= Е РьУп (1 - Zji, г) == Z РьУа П (1 - Укд-

При выводе данного уравнения предполагалось, что все ошибки в программе могут быть выявлены и перенумерованы. Это уравнение может быть решено в тех случаях, когда его правая часть несложным образом зависит от /. Простейшим случаем является равенство правой части уравнения некоторой константе а, т. е. Р/ - = а. Тогда Р/ = а] + Ь. Поскольку Ро = О, то 6 = О и Р/ = щ.

Рассмотренный случаи постоянной скорости уменьшения вероятности отказа в результате устранения ошибок соответствует ситуации, в которой все ошибки оказывают приблизительно одинаковое влияние на эту вероятность. На таком допущении основаны модели