приведены лишь для случая, когда в исходном разбиении имеется ровно два подмножества. В этом слу-

R = R!Pi + R2P2. (6.14)

rflePi-f Р2=1.

Основываясь на данных работы [28], нижнюю доверительную границу для величины R при наблюдаемом числе отказов fi и /г- в сериях контрольных проверок, имеющих длины соответственно щ и Пг, можно получить путем минимизации по Xi и Х2 функции Ali + .22 с учетом ограничения-равенства

I {ЛrrЧl-X{)(]ЛxrЧ\-Xr=\-y,

а также условия OXi, Х2 1, где у - доверительный уровень.

Определяемая нижняя доверительная граница

обозначается через RLifuh; i, 2, у). Слагаемые п выражении (6.15) представляют собой произведения вероятностей наблюдения ровно ii отказов в серии из щ тестов на наборах данных из Si и ровно 12 отказов в серии из П2 тестов на наборах данных из S2, причем выборки данных из подмножеств Si и S2 являются независимыми как внутри каждого из этих подмножеств, так и по их совокупности. Следует заметить, что способ включения в сумму (6.15) индексов ii и /2 неочевиден, во всяком случае, как показано в работе [28], он неоднозначен. Существуют различные способы включения индексов й и /2 в сумму (6.15), являющиеся более или менее оптимальными. Здесь термин оптимальность используется в том смысле, что для любых /1 и /2 доверительная граница RL(fi /2; til, П2, у) для выбранного порядка включения il и 12 в сумму не хуже, чем доверительная граница Rl (fv tr i 2 y) для любого другого порядка включения, т. е. при прочих равных условиях предпочтительнее иметь большую доверительную границу.

Один из способов включения индексов k и 12 в суммирование состоит в следующем: для любых на-

Р,-f р2 >- Pi + р2.

Предполагается, что указанный порядок должен приводить к значениям Rl, упорядоченным так же, как оценки надежности, хотя доказать это утверждение не представляется возможным.

По сравнению с другими способами суммирование с включением единственной точки (О, 0; tii, пг) приводит к наибольшему значению величины Rl. В этом случае выражение (6.15) принимает вид

хТхТ=1-у. (6.150

Используя метод множителей Лагранжа, можно показать, что минимизация суммы x1p1-J-x2p2 при ограничении (6.150 и условии OXi, Х2 I дает.

R. = (.-vr() (lr)*. С-)

где п = П1 -f П2 и Pi -f Рг == I. Обобщим полученный результат на случай, когда исходное разбиение состоит из К подмножеств. В этом случае задача сводится к

минимизации

S/;P/ (6.17)

при ограничении

П/;/=1-у (6.18)

блюдаемых величин (/ь fs; i, Пг) проводить суммирование (15) по тем точкам (rl, гг; пип), для которых Oii/i; О гг Ь- Такой порядок включения будет удовлетворителен, если параметры и п% не слишком отличаются один от другого по величине. В общем же случае более подходящим способом является такой, при котором суммирование включает точки (ii, io; Пи П2) с оценками надежностей, удовлетворяющими неравенству

250 Глава 6 <

И при Требовании для каждого К,-, чтобы

Так же как и в рассмотренном выше с аучае, полу чим

R. = n{l-yrf[(f\ (6.19)

/.=1 I

Пример 1а. *)

i = 2, И2 = 1, Из = 1, = 1 и соответственно п = 5. Р = 0,5, Рг = 0,33333, Рз = 0.1, Р4 = 0,06667 Следовательно, R = = 5(1-Y).2.0,25°.-0,33333 2.0,l°.2-0,06667<.2 = 0,83616(1-у)°Л тогда

Y 0,50 0,90 0,95 R 0.7367 0,5340 0,4649

Пример 16.

rii = 6, Иг = 3, 3=1, 4=1 и соответственно п = 11. Значения Р/ - те же, что в примере 1 а.

Следовательно, Rl = 11 (1 ) оомта. совЗЗЗ .

0,111.11° 273. о 10.080809. QQ555570.0b0809 0,98781(1 -Y)°°° , то.-да

Y 0,50 0,90 0,95 R 0,9275 0,8012 0,7523

Когда длина выборки из каждого подмножества S/ пропорциональна приписанной этому подмножеству вероятности, т. е. когда п/ = пР/, то

Rl = п (1 - Y) Ш = (1 - Y) . (6.20)

Этот результат совпадает с обычной биномиальной нижней доверительной границей для величины надежности в условиях, когда в серии из п тестов не обнаруживается ни одного отказа, и, по-видимому, соответствует ситуации, когда разбиение вырождается в единственное подмножество.

Построение неймановских доверительных границ в общем случае, очевидно, представляет собой трудноразрешимую задачу. В то же время метод Неймана не требует использования каких-либо предположений о характере априорного распределения ве-

) Во всех примерах используются гипотетические данные работы [25].