1 12 3 4

Р, 0,5 0,33333 0,1 0,06667

0,87500 0,80000 0,66667 0,66667

j 0,43750 0.26667 0,06667 0.04444

/ + 2

М (R) 0.815228

0,012153 0,026667 0,055556 0,05556

( /-+l)(f,-+l) ( , + 2)2( . + 3)

( +2f (?/+3) 0.0030382 0,0029630 0,0005556 0,0002409

V(R) 0,0068037

р . . 17,2310

q 3.9042

Ниже приводятся значения г, отвечающие соотношению Bcp(Rr)=Y. где R -случайная величина, подчиняющаяся Р-распределенню с параметрами р = 17,2310 и <? = 3,9042;

Y 0,50 0,90 0.95 R 0,8253 0,7032 0,6640

Результаты, полученные в примерах 1а и 2а с помощью метода Неймана и байесовского подхода, весьма близки. Однако нижние байесовские доверительные границы, полученные в примере 26, существенно меньше, т. е. являются более заниженными, чем нижние неймановские доверительные границы, полученные в примере 16.

В проведенном анализе нижних доверительных границ предполагалось, что сумму Z P/R/ можно приближенно считать эквивалентной случайной величине, подчиняющейся р-распределению. При получении соответствующего приближения использовались первые два момента кал<дой величины R/, а также известные формулы для первых двух моментов суммы случайных величин.

Метод введения в Р-распределение, используемое в качестве приближения для распределения некоторой случайной величины, поправочных членов, пред-

) Заметим, что требование равенства единице площади, ограничеииой кривой распределения иа интервале [О, 1], по существу определяет один из параметров аппроксимирующей кривой.

ставлен в работе [32]. Этот метод по сравнению с рассмотренным выше методом приближения требует вычисления для каждой величины моментов более высокого порядка и связан со значительно более сложными вычислениями. Тем не менее он был использован сотрудником фирмы TRW Дж. Е. Вольфом для решения несколько иной задачи [33]. Рассмотрим кратко подход, Есоторый предложил Вольф ив основе которого лежит идея использования в качестве приближения функции плотности распределения вероятностей величины ZP/R/ функции вида

<? (Z) = аХ (1 - Х) (1 + a,Z + ... + аХ% (6.32)

Если в выражении (6.32) не учитывается последний сомножитель, то получаем уже рассмотренное приближение функции плотности для указанной случайной величины функцией плотности р-распределе-ния, причем Go = r (а + Р + 2)/(Г (а+1) Г (р+1) (см. уравнение (6.25) для р = а-1-1 и <7==Р+1)). В общем случае, когда в выражении (6.32) учитываются члены вплоть до ах*, необходимо располагать моментами от первого до ( + 2)-го порядка для каждой величины Ry. Начальный момент i-ro порядка для величины R/ определяется как

или как

v( - Г( / + 2)Г( у-/+ +) .

-Г( ,-/,-М)Г(п + 2-Ь/)- (6-33)

Следующий шаг вычислений включает определение начальных моментов v,- случайной величины

256 Глава б

Первый начальный момент дадаюй величины Vi = ==М(Я) уже был определен в (6.23). Второй центральный момент был определен в (6.24). Второй начальный момент определяется по формуле

= Z ЧР/ + 2 Е v/>vi*)P Р. (6.34)

Третий ординарный момент определяется по формуле V3 = 3v,V2-2v3 + ZvP3-

- 3 S xlWJP] + 2 Е (yPjf- (6-35)

Четвертый начальный момент не может быть получен столь же просто, как первые три, и в силу сложности его определения соответствующее рассмотрение здесь не проводится.

В приведенной далее таблице даются нижние доверительные границы, которые были определены при использовании моментов достаточно высокого порядка (из числа тех, которые сравнительно легко вычисляются). Полученные результаты соответствуют кривым (6.32) определенного порядка, приближающим функцию плотности распределения величины EP/R/ Д-я исходных данных рассмотренного ранее примера 16.

Учитываемые Значения аппроксимирующей функции

параметры g д.

Ос 0,8253 0,7032 0,6640

Яо, а, 0,8263 0,7027 0,6626

Ос, fli, аз 0,82629 0,70301 0,66248

Яо, fli, Яа, Яз 0,82620 0,70310 0,66281

Приведенные результаты показывают, что подобная аппроксимация плотности распределения надежности кривой (6.32) нулевого (с использованием первых двух моментов) или, при наличии возможности, первого порядка является, вообще говоря, вполне приемлемой.

Следующие примеры иллюстрируют использование байесовского метода, когда в системе возможны отказы-