Окончательно получаем

xLh = #V- (6.11;

Таким образом, минимально возможное значение пропорционально отношению суммы вероятностен, связанных с подмножествами S,-, которые затрагивались выборкой, и сумме вероятностей, относящихся к подмножествам S/, которые не затрагивались выборкой.

Доверительные границы значений R. На основе теории выборочного метода, представленной в предыдущих разделах, могут быть разработаны различные меры доверительности для оценок надежности программного обеспечения. Термин доверительность в техническом смысле применительно к надежности программных средств означает, что речь идет о мере близости к истинному значению величины надежности, оцененной по результатам некоторой серии испытаний с помощью определенных методик расчета. Термин доверительность используется также для обозначения степени представительности, полноты и т. д., стратегии тестирования илн метода выборки [25].

Если через V обозначить оценку дисперсии случайной величины R и предположить ассимптотпчески нормальное поведение этой величины, можно утверждать, что

R ± A(, v)/2 VV

дает доверительный интервал, включающий величину R, с доверительным уровнем у, где Яа - стандартное отклонение нормального распределения, превышаемое с вероятностью а. Можно было ожидать, что выписанный выше доверительный интервал даст более точную оценку для величины R, если количество тестов rij для всех подмножеств S; будет велико. Для сравнительно же небольшого числа тестов П/ величину Я(1 у)/2 следует заменить на величину tn-A\-y)i2, представляющую собой в распределении Стьюдента с п сте-

246 . Глава 6

пенями свободы отклонение которое превышается с вероятностью (1-у)/2. Доверительный интервал, определяемый с помощью (п:п-у)Г2, шире доверительного интервала, определяемого с помощью К\-у)и, н приближается к последнему с увеличением П/. Например, tso; 0,05= 1,697; ti2o; о,о5= 1,658, в то время как h),05= 1,645.

. Вообще говоря, интерес представляют лишь односторонние доверительные границы, а именно интервалы вида Rl < R < 1, где Rl - нижняя доверительная граница значений случайной величины R. Прн заданном доверительном уровне односторонние доверительные интервалы в рассмотренных выше случаях определяются нижними границами, равными соответственно

R-Kl-y/V или Я-tn; l-y/V. (6.12)

Для обоих случаев в условиях неполной выборки указанные доверительные интервалы включают псли-чину

Следовательно, действительное значение R должно попадать в доверительный интервал с вероятностью

Разность значений у и у оценить довольно сложно, однако запас прочности мог бы быть увеличен за счет использования нескольких больших значений у при определении величин Ai-v или i-y- В то же время различию между величинами Я и у, по-видимому, пе следует уделять особенно большого внимания, поскольку рассматриваемая методика определения доверительного интервала содержит немало элементов приближения.

Метод нахождения нижних доверительных границ надежности, рассматриваемый в следующих разделах, не опирается на предположение об ассимптоти-чески нормальном поведении и может быть назван точным методом.

Некоторые исторические аспекты развития точных методов. Начиная приблизительно с 1958 г. было на-

писано большое количество работ на тему построения статистических доверительных границ оценок надежности системы в условиях наличия данных об отказах ее элементов [26]. Типичной задачей, которая может быть поставлена в рамках данной проблемы, является следующая. Имеется система, элементы которой с точки зрения отказов соединены последовательно, т.е. система перестает функционировать прн отказе любого из компонентов. В рассматриваемой системе отказ любого компонента не влияет на отказ или успешное функционирование любого другого ее компонента. Например, если система состоит из двух компонентов и события отказ 1 и отказ 2 этих компонентов статистически независимы, то надежность системы определяется как R=RiR2. Обычно для такой системы требуется tii и Пг тестов каждого из двух компонентов, в ходе которых фиксируются и.к отказы / и /г (О fi, /2 1, г). Используя приближение Неймана [27], можно построить семейство нилших доверительных границ надежности системы. RL(fi,/г; П1,П2,у), такое, что Bep(RL<R)Y, где Y - назначенный доверительный уровень (например, у = 0,5; 0,90; 0,95), а R - действительная (но неизвестная) надежность системы.

Данная задача первоначально была рассмотрена в работах [28, 29], а в последствии - в работе [30].

Для модели надежности программного обеспечения в силу того, что действительная надежность относительно у-го подмножества исходного разбиения равна Р;/Р/= R/, рассмотренная выше задача становится задачей определения семейства нижних доверительных границ величины

R = ER/Pi. (6.13)

причем это семейство строится для всех возможных исходов Ii и заданных размеров выборки щ, j = 1, 2.....К.

Доверительные границы по Нейману. Поскольку формулировка общего решения задачи о неймановских или классических доверительных границах является громоздкой, соответствующие формулы будут