i = l

математическое ожидание R равно

М М N

М (R) = SjRj = X Z Z ( - =

значение R на всем множестве наборов входных данных в пределах выборки равно R. Это может быть показано, если ввести характеристику выборки zij, которая определяется так, что

Zij - 1, если Ег входит в выборку /,

Zij = о в противном случае.

Число различных наборов входных данных tij, входящих в некоторую выборку /, может быть меньше чем п, так как некоторые наборы Е,- могут быть включены в нее более одного раза. Поэтому

Z == Zii = щ.

Однако в большинстве случаев число возможных наборов входных данных N настолько больше размера выборки, что повторный выбор каких-либо наборов маловероятен. Если s; - вероятность того, что взята выборка /, и М -количество возможных выборок, то

Так как R можно представить в виде

При рг< 1 M(R) = 1 -P = R.

Для получения оценки R должен быть определен функциональный разрез pt программы. На практике этот разрез определяется путем разбиения всего пространства значений входных переменных на подпространства и нахождения вероятностей того, что выбранный набор входных данных будет принадлежать конкретному подпространству. Определение этих вероятностей основано на оценке вероятностей появления тех или иных входов в реальных условиях функционирования, относительно которых оценивается надежность программы.

Как только вероятности р/ определены указанным образом, случайная выборка из п наборов входных данных, распределенных в соответствии с pt, может быть получена с помощью некоторого датчика случайных чисел. После реализации п испытаний программы для одних входных наборов данных результаты окажутся правильными, а для других могут быть зафик-снрованы отказы. При этом процесс испытаний не должен прекращаться, а ошибки не должны исправляться до завершения всех п прогонов; на основании полученных данных может быть вычислена оценка надежности R.

Рассмотренный подход к оценке надежности программного обеспечения был проверен на двух программах, написанных различными специалистами на основании одного и того же технического задания. Разрез Pi определялся таким образом, чтобы он приближенно отражал реальные условия функционирования программы. Выборка из 1000 наборов входных данных формировалась в соответствии с этим разрезом с помощью датчика случайных чисел. Было сделано 1000 прогонов каждой программы. Результаты каждого прогона анализировались, и отмечались те прогоны, которые заканчивались отказом. Для одной программы было зафиксировано три отказа, а для другой - 35. Рассчитанная оценка надежности R для первой программы равнялась 0,997, а для второй - 0,965. Программа, которой соответствовала более высокая надежность, имела более простую структуру,

И ЭТОТ факт подтверждает установившееся мнение, что усложнение структуры программ ведет к сниже-нию их надежности [7].

Сравнение модели Нельсона с другими моделями. В моделях Шумана и Джелинского - Моранды в качестве независимой переменной фигурирует время и надежность вычисляется по формуле

Значение интенсивности отказов h предполагается постоянным в течение всего периода функционирования системы и изменяется только при обнаружении и устранении ошибок, после чего время t снова отсчи-тывается от нуля. Поскольку эта формула может быть получена как частный случай модели Нельсона при некоторых допущениях, целесообразно определить условия, при которых верны модели Шумана и Джелинского - Моранды. Эти условия таковы:

- время t должно интерпретироваться как суммарное время работы программы относительно некоторого определенного начального момента времен!;;

- время должно быть больше средней длительности выполнения одного прогона программы М;

- наборы входных данных для последовательных прогонов программы должны выбираться случайным образом в соответствии с законом распределения, приближенно отражающим реальные условия функционирования, относительно которых производится оценка надежности.

Авторы и той и другой модели попытались расширить их в предположении, что интенсивность отказов пропорциональна числу оставшихся в программе ошибок, а затем применить эти модели к тестированию программ.

Вейсом и Коркорэном были предложены модели для определения степени повышения надежности программы в процессе тестирования, причем они попытались учесть эффект существования в программе нескольких источников ошибок.

Перечисленные модели нашли ограниченное применение, так как в них слабо учитывались свойства программ, режимы функционирования и стратегии