роятностей, как это делается прн байесовском подходе, который рассматривается ниже. В этом смысле неймановские доверительные границы являются предпочтительнее байесовских. Тем не менее относительная легкость получения последних может служить достаточным основанием для отказа от неймановских доверительных границ. Однако позднее, в разд. 6.3.2, будет указано на полезность использования компромиссного подхода к определению доверительных пределов. -

Байесовские доверительные границы. Плотность апостериорного вероятностного распределения значений надежности Ry, соответствующая /-му подмножеству разбиения множества Е, при условии обнаружения отказов в серии из п/ тестов и в предположении равномерной плотности априорного вероятностного распределения той же самой величины определяется хорошо известным выражением

Вер (г/< Ry < о + rf-/) =

которое представляет собой функцию плотности р-рас-иределения.

Легко видеть, что как только будет найдено распределение величины

будет найдена и нижняя доверительная граница, соответствующая доверительной вероятности у, поскольку она определяется значением г, для которого Bep(R г) = у. Таким образом, задача состоит в том, чтобы получить распределение взвешенной суммы независимых случайных величин, подчиняющихся р-рас-пределению.

Эта задача аналитически ) трудноразрешима. Для ее.приближенного решения необходимо сделать пред-

) Пригодным может оказаться разве что численный метод Монте-Карло, в особенности для больших значений К [34].,

У(П у ( -/ + )( + ) р2

(р + ?)Мр-Ь<?+1) Z j ( / + 2)2( / + 3) *

(6.27)

Поскольку

P + -TtrliS-. (6-29)

положение, что случайная величина R подчиняется р-распределению, н определить параметры этого распределения путем согласования моментов величины R с легко вычисляемыми моментами величины Z .

Среднее значение величины R/, обозначаемое через A1(R/), определяется следующим образом:

= (6.21)

Дисперсия величины R/, обозначаемая через V{R/), определяется как

Имеем

AJ(R)=ZPyM(R,). (6:23)

Если учесть независимость случайных величин R/, то получим

V(R)=ZHV(R/). (6.24)

Таким образом, если плотность распределения величины R характеризуется р-распределением с параметрами р, q, т. е.

Вер (/ < 7? < / + dr) = г7р)П) (* ~ (6-)

то получаем уравнения

Приложения теории надеокности программного обеспечения 253 ИЗ уравнения (27) получаем

,[,-М(Я)]\Ш=-11 (6.30)

V(R)

а уравнение (28) приводит к

. , = M(R)[li.g-l]. (6.31)

Теперь для определения г, такого, что Вер (R /)=Y, можно использовать либо таблицы р-рас-пределения, либо соответствующую программу.

Пример 2а.

В данном случае используются те же исходные данные, что и в примере 1а.

/ 12 3 4

Р/ 0,5 0,33333 0.1 0,06667

0,75000 0,66667 0,66667 0,66667

Yj п + 0,37500 + 0,22222 + 0,06667 + 0,04444

М{Я) 0,70833

(n,.-f,-+l)(fy + l)

-1 оч2 / I 0,037500 0,05556 0,05556 0,05556

Zj (Яу + 2)(я. + 3) 10.009375+0,006173+0,000556+0.000247

V (R) 0,016350

p 8,2421

g 3,3939

Ниже приводятся значения г, отвечающие соотнощению Bep(Rr) = Y, где R - случайная величина, подчиняющаяся Р-распределеш1ю с параметрами р = 8,2421, q = 3,3939:

Y 0,50 0,90 0,95 R 0,7206 0,5334 0,4780

Пример 26.

В данном случае используются те же исходные данные, что и в примере 16.